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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 So 12.02.2006 | | Autor: | dimka |
| Aufgabe | Sei U = lin ((1, 1, 3, [mm] 0)^{T} [/mm] , (0, 0, 1, [mm] 1)^{T})). [/mm] Bestimmen Sie U orthogonal bezüglich des Standardskalarprodukts im [mm] R_{4}, [/mm] und geben Sie sowohl eine Orthonormalbasis von U orthogonal als auch ein lineares
Gleichungssystem, welches U orthogonal beschreibt, an. Berechnen Sie die orthogonale Projektion
von (1, 0,−1, [mm] 0)^{T} [/mm] auf U. |
Hallo und guten Tag! Ich stelle in diesem Forum das erste mal eine Frage.
Also ich habe etwas gelößt und möchte, dass ihr das mal ansieht und Ihre Meinung oder Korrektur angibt. Danke!
Ich habe mich es so vorgestellt, dass man hier das Schmidtsches-Orthonormalisierungsverfahren anwenden muss, also [mm] v_{1}=(1,1,3,0)^{T } [/mm] und [mm] v_{2}=(0,0,1,1)^{T}. [/mm]
[mm] u_{1}=\bruch{v_{1}}{||v_1||}=\bruch{1}{\wurzel{11}}*(1,1,3,0)^{T} [/mm]
[mm] u_{2}^{'}=v_{2}-*u_{1}=(0,0,1,1)^{T}-\bruch{3}{\wurzel{11}}*(\bruch{1}{\wurzel{11}}*(1,1,3,0)^{T})=(0,0,1,1)^{T}-(\bruch{3}{11},\bruch{3}{11},\bruch{9}{11},0)^{T}=(-\bruch{3}{11},-\bruch{3}{11},\bruch{2}{11},1)^T
[/mm]
[mm] u_{2}=\bruch{u_{2}^{'}}{||u_{2}^{'}||}=\bruch{1}{\wurzel(\bruch{13}{11})}*(-\bruch{3}{11},-\bruch{3}{11},\bruch{2}{11},1)^T
[/mm]
Also so wie ich es verstehe U orthogonal ist [mm] lin(v_{1},u_{2}^{'}),
[/mm]
Basis für U orthogonal ist [mm] u_{1} [/mm] und [mm] u_{2}
[/mm]
jetzt weiß ich aber nicht wie ich das Lineare Gleichungssystem bilde....
wäre es nicht:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{11}}x_{1}+\bruch{1}{\wurzel{11}}x_{2}+\bruch{3}{\wurzel{11}}x_{3}=0
[/mm]
[mm] \bruch{-\bruch{3}{11}}{\wurzel{\bruch{13}{11}}}y_{1}+\bruch{-\bruch{3}{11}}{\wurzel{\bruch{13}{11}}}y_{2}+\bruch{\bruch{2}{11}}{\wurzel{\bruch{13}{11}}}y_{3}+\bruch{1}{\wurzel{\bruch{13}{11}}}y_{4}=0
[/mm]
ich weiß es aber auch nicht wie man den Abstand von U berechner :(
Ich danke euch im Vorraus!!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 So 12.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo dimka
> Sei U = lin ((1, 1, 3, [mm]0)^{T}[/mm] , (0, 0, 1, [mm]1)^{T})).[/mm]
> Bestimmen Sie U orthogonal bezüglich des
> Standardskalarprodukts im [mm]R_{4},[/mm] und geben Sie sowohl eine
> Orthonormalbasis von U orthogonal als auch ein lineares
> Gleichungssystem, welches U orthogonal beschreibt, an.
> Berechnen Sie die orthogonale Projektion
> von (1, 0,−1, [mm]0)^{T}[/mm] auf U.
> Hallo und guten Tag! Ich stelle in diesem Forum das erste
> mal eine Frage.
> Also ich habe etwas gelößt und möchte, dass ihr das mal
> ansieht und Ihre Meinung oder Korrektur angibt. Danke!
> Ich habe mich es so vorgestellt, dass man hier das
> Schmidtsches-Orthonormalisierungsverfahren anwenden muss,
Ich glaub, dass du die Frage bzw. Aufgabe missverstanden hast! Unter dem orthogonalen Unterraum versteht man den Unterraum aller der Vektoren, die senkrecht auf den Vektoren von U stehen: Du hast einfach aus den Vektoren von U eine Orthonormalbasis produziert, aber das war nicht die Aufgabe!
Damit sind auch die weiteren Rechnungen hinfällig. Die hab ich nicht nachgesehen. Die Orthonormalbasis von U ist richtig.
Gruss leduart
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