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| Aufgabe | Sei W ein endlich dimensionaler Vektorraum, U,V [mm] \subset [/mm] W seien Unterräume. Zeigen Sie:
(i) $ (U [mm] \cap V)^{\perp} [/mm] = [mm] U^{\perp} [/mm] + [mm] V^{\perp} [/mm] $
(ii) $ [mm] (U+V)^{\perp}=U^{\perp} \cap V^{\perp} [/mm] $ |
Hi Leute,
sorry, aber könnte mir jemand bitte erklären, wie ich das zeigen soll.....
hab schon meine LinA-Bücher und die aufzeichnungen der vorlesung durchgeschaut, aber nichts gefunden, was mir dabei helfen könnte.
auf jeden fall sieht die aufgabe ja garnich so schwer aus (hoffe ich zumindest), wär nett wenn ihr mir da n bisschen weiterhelfen könntet...
danke
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Hi!
Also erstmal sollst du die Glerichheit von Mengen zeigen, d.h. zeige dazu :
(i) a) [mm](U \cap V)^{\perp}\subseteq U^{\perp} + V^{\perp}[/mm]
b) [mm](U \cap V)^{\perp}\supseteq U^{\perp} + V^{\perp}[/mm]
(ii) a) [mm](U+V)^{\perp} \subseteq U^{\perp} \cap V^{\perp}[/mm]
b) [mm](U+V)^{\perp} \supseteq U^{\perp} \cap V^{\perp}[/mm]
Dabei könnte hilfreich sein:
1.) [mm] U^{\perp}, [/mm] bzw. [mm] V^{\perp} [/mm] sind ebenfalls UVR von W
2.) Für UVRs A,B gilt:
a) [mm] A\cap{}B [/mm] ist ein UVR
b) A+B ist ein UVR
c) [mm] A+B=span(A\cup{}B)
[/mm]
(Obwohl du das eigentlich nur benutzen darfst, wenn ihr das schon bewiesen habt)
MFG Verena
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dank für den tipp,
aber irgendwie bringt mich das nicht so wirklich weiter, wie kann ich das denn auf dieses $ [mm] (...)^{\perp} [/mm] $ anwenden.......
wenn du vielleicht noch ne idee hättest wärs cool, wenn du nen ansatz für zum beispiel: $ (U [mm] \cap V)^{\perp}\subseteq U^{\perp} [/mm] + [mm] V^{\perp} [/mm] $ hättest.
ich weiß, dafür is das forum eigtl. nich gedacht, aber mein professor fängt nunmal jetzt im 1. semester schon mit dualräumen und allem was damit zu tun hat an, besser gesagt seine vorlesungen konzentrieren sich nur noch darauf, mit dem problem, dass er nie was richtig erklärt und man ihm auch nur sehr schwer folgen kann...
wär echt nett , danke
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Sorry, hat grad etwas lang gedauert. Hab grad selber lange überlegen müssen, wie man das zeigt und erst jetzt gesehen, dass [mm] dimW<\infty [/mm] . Dann bietet es sich natürlich an alles mit Hilfe einer Basis von W zu zeigen, bzw. nimm dir eine Basis von V und eine von U und bastel daraus eine Basis von W. Diese Basis B kannst du dann also in 4 Teile teilen:
[mm] B\cap{}(W \backslash{}(U\cup{}V))
[/mm]
[mm] B\cap{}(U\backslash{}(U\cap{}V))
[/mm]
[mm] B\cap{}(V\backslash{}(U\cap{}V))
[/mm]
[mm] B\cap{}(U\cap{}V)
[/mm]
Das wäre mein Ansatz. Überleg mal wie du damit weiterkommst. etzt dürfte die Aufgabe eigentlich nur noch ein [mm] \lambda [/mm] rumgeschiebe sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Sa 10.06.2006 | | Autor: | baskolii |
Vielleicht ist es komfortabler alles über Dimensionen zu zeigen.
Für das orthogonale Komplement gilt:
[mm] dimU+dimU^{\perp}=dimW
[/mm]
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vielen dank verena für die schnelle hilfe, bringt mich der lösung auf jeden fall weitaus näher, schönen tag noch
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:54 Sa 24.01.2009 | | Autor: | ccatt |
| Aufgabe | | [mm] (U\cap V)^{\perp}= U^{\perp} + V^{\perp} [/mm] |
Hallo,
ich sitze z.Z. an der selben Aufgabe und irgendwie komme ich nicht so recht weiter, da es ja die selbe Aufgabe betrifft, eröffne ich kein neues Thema, sondern schreibe hier meine Frage hin:
Also ich muss ja, wie oben schon erwähnt, zwei Inklusionen zeigen.
Hier ist U,V [mm] \subset [/mm] E und <x,y> haben wir als Skalarprodukt definiert:
[mm] (U\cap V)^{\perp}= \{x\in E | \forall z \in(U\cap V) =0\}
[/mm]
Da bin ich mir nicht so sicher, ob das stimmt.
Den zweiten Teil habe ich folgendermaßen aufgeschrieben:
[mm] U^{\perp}+V^{\perp}=\{x\in E | \forall u \in U =0\}+\{x\in E | \forall v \in V =0\}
[/mm]
Ich weiß nur nicht, wie ich jetzt weitermachen soll.
Kann mir hier jemand weiterhelfen?
Herzlichen Dank schonmal.
LG ccatt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Di 27.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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