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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:47 So 14.06.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei ein Unterraum von X. Sei [mm] u_1,...,u_n [/mm] eine ONB von U. Ist [mm] x\in [/mm] X, so setze
[mm] x'=x-\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}\left\langle x,u_{i}\right\rangle u_{i}=x-\langle x,u_{1}\rangle u_{1}-...-\langle x,u_{n}\rangle u_{n}.
[/mm]
Zeige: (i) [mm] x'\in U^{\perp}.
[/mm]
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Hallo,
ich habe erstmal nur den ersten Teil der Aufgabe reingestellt, weil ich hoffe damit dann auch den Rest auf die Reihe zu bekommen.
Folgendes ist bereits geschehen:
Sei u beliebig gewählt mit [mm] u=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}u_{i},\,\lambda_{i}\in [/mm] K.. Dann z.z. [mm] \left\langle x',u\right\rangle [/mm] =0.
Dann:
[mm] \langle x',u\rangle=\langle x-\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}\left\langle x,u_{i}\right\rangle u_{i},\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}u_{i}\rangle
[/mm]
[mm] =\langle x-\langle x,u_{1}\rangle u_{1}-...-\langle x,u_{n}\rangle u_{n},\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}u_{i}\rangle
[/mm]
[mm] =\langle x,\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}u_{i}\rangle-\langle x,u_{1}\rangle\langle u_{1},\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}u_{i}\rangle-...-\langle x,u_{n}\rangle\langle u_{n},\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}u_{i}\rangle.
[/mm]
So ich hoffe mal, dass ich das bis hierhin noch einigermaßen richtig habe.
Was ich nun weiterhin weiß, da [mm] u_1,...,u_n [/mm] ONB ist, dass [mm] \langle u_i,u_j\rangle=0 \forall i\neq [/mm] j und =1 für i=j.
Das muss ich da wohl irgendwie verwende. Dazu werde ich wohl den jeweils zweiten Teil, also die Linearkombination der [mm] u_i [/mm] noch weiter auseinanderziehen müssen und dann müsste sich so einiges aufheben in der Summe. Das ist zumindest meine Vorstellung von dem richtigen Lösungsweg.
Ich verliere dabei nur so schnell die Übersicht. Wie gehe ich nun vor, um das weiter zu vereinfachen, bzw. wie sieht der nächste Schritt mit dem auseinandergezogenen [mm] \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}u_{i} [/mm] aus?
Gruß Unk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:24 So 14.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ich verliere dabei nur so schnell die Übersicht.
Erster Fehler: Du benutzt zweimal i als Index. Zweiter Fehler: du benutzt schließlich doch die "..."-Schreibweise, damit sieht man einfach nix. Besser:
[mm] $$\langle x',u\rangle=\langle x-\sum_{i=1}^n\left\langle x,u_{i}\right\rangle u_{i},\sum_{j=1}^n\lambda_{j}u_{j}\rangle=\sum_{j=1}^n\lambda_j\langle x,u_j\rangle-\sum_{i,j=1}^n\lambda_j\langle x,u_i\rangle\langle u_i, u_j\rangle=0$$ [/mm] Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 14.06.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | (ii) [mm] x\notin U\Rightarrow u_1,...,u_n,x' [/mm] sind linear unabhängig. |
Danke bis hierhin.
Zu dem nächsten Aufgabenteil. Für lineare Unabhängigkeit muss ich zeigen:
Aus [mm] 0=\lambda_1 u_1+...+\lambda_n u_n+\lambda_n+1 [/mm] x' folgt, [mm] \lambda_i [/mm] =0 [mm] \forall [/mm] i=1,...,n+1.
Dafür werde ich wohl auch irgendwie das Skalarprodukt brauchen.
Meine Argumentation ist noch nicht so ganz richtig. Ich betrachte das innere Produkt [mm] \langle 0,x\rangle\Rightarrow 0=\langle [/mm] 0,x [mm] \rangle=\langle \lambda_1 u_1+...+\lambda_n u_n+\lambda_n+1 [/mm] x' [mm] ,v\rangle [/mm] = [mm] \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}{\langle u_{i},x\rangle}+\lambda_{n+1}{\langle x',x\rangle}
[/mm]
[mm] \Rightarrow -\lambda_{n+1}\langle x',x\rangle=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}\langle u_i,x\rangle
[/mm]
Ich weiß, dass [mm] \langle [/mm] x',x [mm] \rangle [/mm] =0 und [mm] \langle u_i,x\rangle\neq [/mm] 0.
Also folgt: [mm] 0=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}. [/mm] Aber jetzt kann ich ja noch nicht automatisch folgern, dass alle [mm] \lambda_i [/mm] =0 sind.
Was ist falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 So 14.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Ist [mm] $\lambda_0 x'+\sum_{i=1}^n\lambda_i u_i=0$ [/mm] , so wende auf beiden Seiten [mm] $\langle\cdot,u_j\rangle$ [/mm] an und du erhälst [mm] $\lambda_j=0$ [/mm] für alle $j=1...n$. Also ist [mm] $\lambda_0x'=0$ [/mm] und somit, wenn [mm] $x'\ne [/mm] 0$, auch [mm] $\lambda_0=0$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 So 14.06.2009 | | Autor: | Unk |
Ok verständlich. Aber warum muss dazu unbeding [mm] x\notin [/mm] U sein. Folgt das nicht immer?
Oder kann man es so begründen:
Da [mm] x\notin [/mm] U, ist x nie [mm] =u_j [/mm] für entsprechende j, d.h. [mm] \langle x,u_j\rangle [/mm] =0.
Damit gilt dann auch [mm] \langle x',u_j \rangle [/mm] =0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 So 14.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Es gilt [mm] $x\in U\gdw [/mm] x'=0$ und umgekehrt, das solltest du dir unbedingt klar machen (also beweisen).
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:48 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Folgere:
Jede Orthonormalfolge eines endlich-dimensionalen unitären Vektorraums lässt sich zu einer Orthonormalbasis ergänzen.
Damit gilt: Jeder endlich dimensionale unitäre Vektorraum besitzt eine Orthonormalbasis. |
Ich habe also eine orthonormalfolge [mm] u_i [/mm] mit Elementen in U.
Dann kann ich doch mehrere [mm] x_{j}' [/mm] finden (mit meiner Formel x'=...), die orthonormal zu meinen [mm] u_i [/mm] sind und ich habe ja auch gezeigt, dass [mm] u_1,...,u_{n},x' [/mm] linear unabhängig sind.
Kann man das so begründen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:15 Mo 15.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Folgere:
> Jede Orthonormalfolge eines endlich-dimensionalen unitären
> Vektorraums lässt sich zu einer Orthonormalbasis ergänzen.
> Damit gilt: Jeder endlich dimensionale unitäre Vektorraum
> besitzt eine Orthonormalbasis.
> Ich habe also eine orthonormalfolge [mm]u_i[/mm] mit Elementen in U.
> Dann kann ich doch mehrere [mm]x_{j}'[/mm] finden (mit meiner
> Formel x'=...), die orthonormal zu meinen [mm]u_i[/mm] sind und ich
> habe ja auch gezeigt, dass [mm]u_1,...,u_{n},x'[/mm] linear
> unabhängig sind.
Im Grunde richtig, aber kein streng mathematischer Beweis. Was genau sollen die [mm] x_j [/mm] sein? Und warum hast du eine "Orthogonalfolge", was soll das überhaupt sein?
Wie wäre es mit Induktion über die Dimension n von V? Im Fall n=1 nimm einen beliebigen Vektor außer 0 und normiere ihn, fertig. Hat man einen n+1-dimensionalen Vektorraum V, so wähle eine Basis [mm] $\{v,v_1,...,v_n\}$. [/mm] Nach Induktionsvoraussetzung hat [mm] $U:=\operatorname{span}\{v_1,...,v_n\}$ [/mm] eine ONB [mm] $\{b_1,...,b_n\}$ [/mm] und dann ist nach obigem [mm] $\left\{b_1,...,b_n,\frac{v'}{\|v\|}\right\}$ [/mm] eine ONB von V.
Gruß, Robert
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