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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:13 Do 26.11.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Finden Sie orthonormale Vektoren [mm] q_1 [/mm] und [mm] q_2 [/mm] in der von a = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} [/mm] und b = [mm] \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} [/mm] aufgespannten Ebene.
Welcher Vektor der Ebene kommt dem Vektor [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] am nächsten? |
Hallo,
für die zu suchenden orthonormalen Vektoren, habe ich direkt a und b gewält. Diese habe ich anschließend nach dem Gram-Schmidt-Verfahren angepasst, damit diese orthonormale Vektoren der Ebene sind, dies sieht so aus:
$A = a = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}$
[/mm]
$B = b - [mm] \bruch{A^T b}{A^TA} [/mm] A = [mm] \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \bruch{ \begin{pmatrix} 1 3 4 5 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 1 3 4 5 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}$
[/mm]
daraus ergibt sich:
$B = [mm] \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \bruch{100}{100} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 4 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
Nun die beiden Vektoren noch normieren auf 1:
$A = [mm] \bruch{1}{10} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}$
[/mm]
$B = [mm] \bruch{1}{10} \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 4 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
Also sind die gesuchten orthonormalen Vektoren der Ebene. Nun soll ein Vektor der Ebene ermittelt werden, der den minimalsten Abstand zu $c = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm] hat.
Somit suche ich zuerst die Projektion $p = A [mm] \hat [/mm] x$ von c in die Ebene und dann den Fehlervektor e, der mit ja dann den Abstand zwischen c und der Projektion p gibt.
A ist bei nur nun die beiden ermittelten orthonormalen Vektoren also $A = [mm] \bruch{1}{10} \begin{bmatrix} 1 & -7 \\ 3 & 3 \\ 4 & 4 \\ 5 & -5 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}$
[/mm]
Es gibt ja nun zwei Wege, entweder direkt die Projektionsmatrix ($P = [mm] A(A^T A)^{-1} A^T$) [/mm] bestimmen oder [mm] $A^T [/mm] A [mm] \hat [/mm] x = [mm] A^T [/mm] b$ zu lösen. Ich will nun das Gleichungssystem lösen. Da die Vektoren der Matrix orthonormal sind fällt der Term [mm] $A^T [/mm] A = E$ weg.
Es bleibt stehen: [mm] $\hat [/mm] x = [mm] A^T [/mm] b = [mm] \bruch{1}{10} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & 5 & 7 \\ -7 & 3 & 4 & -5 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \bruch{1}{10} \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \end{pmatrix}$
[/mm]
Damit kann ich nun den Vektor innerhalb der Ebene bestimmen, der den kleinsten Abstand zu c hat: $p = A [mm] \hat [/mm] x = [mm] \bruch{1}{100} \begin{pmatrix} 50 \\ -18 \\ -24 \\ 40 \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
Nun noch den Abstand bestimmen:$ e = b - p = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \bruch{1}{100} \begin{pmatrix} 50 \\ -18 \\ -24 \\ 40 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{1}{2} \\ \bruch{9}{50} \\ \bruch{6}{25} \\ -\bruch{2}{5} \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
$|| e || = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}$
[/mm]
Wäre die Lösung so richtig?
Vielen Dank
itse
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> Finden Sie orthonormale Vektoren [mm]q_1[/mm] und [mm]q_2[/mm] in der von a =
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}[/mm] und b =
> [mm]\begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}[/mm]
> aufgespannten Ebene.
>
> Welcher Vektor der Ebene kommt dem Vektor [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> am nächsten?
> Hallo,
>
> für die zu suchenden orthonormalen Vektoren, habe ich
> direkt a und b gewält. Diese habe ich anschließend nach
> dem Gram-Schmidt-Verfahren angepasst, damit diese
> orthonormale Vektoren der Ebene sind, dies sieht so aus:
>
>
> [mm]A = a = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]B = b - \bruch{A^T b}{A^TA} A = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} - \bruch{ \begin{pmatrix} 1 3 4 5 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 1 3 4 5 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}[/mm]
>
> daraus ergibt sich:
>
> [mm]B = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} - \bruch{100}{100} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 4 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Nun die beiden Vektoren noch normieren auf 1:
>
> [mm]A = \bruch{1}{10} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]B = \bruch{1}{10} \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 4 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Also sind die gesuchten orthonormalen Vektoren der Ebene.
Hallo,
bis hierher stimmt's.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Do 26.11.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
wo habe ich denn einen Fehler beim zweiten Teil gemacht?
Ich kann doch direkt die orthonormalen Vektoren hernehmen?
Gruß
itse
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> Hallo,
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> wo habe ich denn einen Fehler beim zweiten Teil gemacht?
Hallo itse,
dies hat Angela auch gar nicht behauptet ...
Soweit ich sehe, stimmt deine Rechnung.
Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Do 26.11.2009 | | Autor: | itse |
Hallo Al-Chw,
vielen Dank für die Antwort. Da war ich wohl etwas voreilig.
Gruß
itse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Sa 28.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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