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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:34 So 08.01.2012 | | Autor: | diab91 |
| Aufgabe | Sei p eine Primzahl. Für 0 [mm] \not= [/mm] a [mm] \in \IZ [/mm] bezeichne [mm] v_{p}(a) [/mm] die höchste Potenz von p, die a teilt, und für 0 [mm] \not= [/mm] q = [mm] \bruch{b}{c} \in \IQ [/mm] setzen wir [mm] v_{p}(q) [/mm] = [mm] v_{p}(b)-v_{p}(c). [/mm] Zeige, die Abbildung
[mm] |*|_{p}: \IQ \to \IR: [/mm] q [mm] \mapsto \begin{cases} p^{-v_{p}(q)}, & \mbox{für } q \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } q = 0 \end{cases}
[/mm]
ist positiv definit und genügt der Dreiecksungleichung. |
Hallo,
die positive Definitheit habe ich bereits gezeigt. Probleme macht mir Dreiecksungleichung. Ich hab's wie folgt versucht... Seien [mm] q_{1},q_{2} \in \IQ, [/mm] dann existieren [mm] b_{1},c_{1},b_{2},c_{2} \in \IZ [/mm] mit [mm] q_{1} [/mm] = [mm] \bruch{b_{1}}{c_{1}} [/mm] und [mm] q_{2} [/mm] = [mm] \bruch{b_{2}}{c_{2}}.
[/mm]
Zu zeigen: [mm] |q_{1}+q_{2}|_{p} \le |q_{1}|_{p} [/mm] + [mm] |q_{2}|_{p}
[/mm]
Per Definition gilt: [mm] |q_{1}+q_{2}|_{p} [/mm] = [mm] p^{-v_{p}(q_{1}+q_{2})} [/mm] = [mm] p^{-v_{p}(\bruch{b_{1}*c_{2}+b_{2}*c_{1}}{c_{1}*c_{2}})} [/mm] = [mm] p^{-v_{p}(b_{1}*c_{2}+b_{2}*c_{1}) + v_{p}(c_{1}*c_{2})} [/mm] und
[mm] |q_{1}|_{p} [/mm] = [mm] p^{-v_{p}(b_{1})+v_{p}(c_{1})} [/mm] = [mm] p^{-v_{p}(b_{1})}*p^{v_{p}(c_{1})}, |q_{2}|_{p} [/mm] = [mm] p^{-v_{p}(b_{2})+v_{p}(c_{2})} [/mm] = [mm] p^{-v_{p}(b_{2})}*p^{v_{p}(c_{2})}.
[/mm]
Soweit, so gut. Habe dann versucht durch Umformungen zu der gewünschten Aussage zu gelangen. Leider ohne Erfolg. Es wäre echt super, wenn mir hier jemand einen Tipp geben könnte auf was ich achten sollte. Ich habe auch schon überlegt, wie ich die Eigenschaft der höchsten Potenz nutzen kann. Leider ist mir bis jetzt nichts wirklich dazu eingefallen.
Freue mich über jede Hilfe.
Diab91
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 So 08.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Diab91!
> Sei p eine Primzahl. Für 0 [mm]\not=[/mm] a [mm]\in \IZ[/mm] bezeichne
> [mm]v_{p}(a)[/mm] die höchste Potenz von p, die a teilt, und für 0
> [mm]\not=[/mm] q = [mm]\bruch{b}{c} \in \IQ[/mm] setzen wir [mm]v_{p}(q)[/mm] =
> [mm]v_{p}(b)-v_{p}(c).[/mm] Zeige, die Abbildung
>
> [mm]|*|_{p}: \IQ \to \IR:[/mm] q [mm]\mapsto \begin{cases} p^{-v_{p}(q)}, & \mbox{für } q \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } q = 0 \end{cases}[/mm]
>
> ist positiv definit und genügt der Dreiecksungleichung.
> Hallo,
>
> die positive Definitheit habe ich bereits gezeigt. Probleme
> macht mir Dreiecksungleichung. Ich hab's wie folgt
> versucht... Seien [mm]q_{1},q_{2} \in \IQ,[/mm] dann existieren
> [mm]b_{1},c_{1},b_{2},c_{2} \in \IZ[/mm] mit [mm]q_{1}[/mm] =
> [mm]\bruch{b_{1}}{c_{1}}[/mm] und [mm]q_{2}[/mm] = [mm]\bruch{b_{2}}{c_{2}}.[/mm]
> Zu zeigen: [mm]|q_{1}+q_{2}|_{p} \le |q_{1}|_{p}[/mm] +
> [mm]|q_{2}|_{p}[/mm]
> Per Definition gilt: [mm]|q_{1}+q_{2}|_{p}[/mm] =
> [mm]p^{-v_{p}(q_{1}+q_{2})}[/mm] =
> [mm]p^{-v_{p}(\bruch{b_{1}*c_{2}+b_{2}*c_{1}}{c_{1}*c_{2}})}[/mm] =
> [mm]p^{-v_{p}(b_{1}*c_{2}+b_{2}*c_{1}) + v_{p}(c_{1}*c_{2})}[/mm]
> und
> [mm]|q_{1}|_{p}[/mm] = [mm]p^{-v_{p}(b_{1})+v_{p}(c_{1})}[/mm] =
> [mm]p^{-v_{p}(b_{1})}*p^{v_{p}(c_{1})}, |q_{2}|_{p}[/mm] =
> [mm]p^{-v_{p}(b_{2})+v_{p}(c_{2})}[/mm] =
> [mm]p^{-v_{p}(b_{2})}*p^{v_{p}(c_{2})}.[/mm]
> Soweit, so gut. Habe dann versucht durch Umformungen zu
> der gewünschten Aussage zu gelangen. Leider ohne Erfolg.
> Es wäre echt super, wenn mir hier jemand einen Tipp geben
> könnte auf was ich achten sollte. Ich habe auch schon
> überlegt, wie ich die Eigenschaft der höchsten Potenz
> nutzen kann. Leider ist mir bis jetzt nichts wirklich dazu
> eingefallen.
> Freue mich über jede Hilfe.
Es ist einfacher, ewnn du [mm] $q_1 [/mm] = [mm] p^n \frac{a}{b}$ [/mm] und [mm] $q_2 [/mm] = [mm] p^m \frac{c}{d}$ [/mm] schreibst mit $a, b, c, d [mm] \in \IZ \setminus \{ 0 \}$, [/mm] $p [mm] \nmid [/mm] a, b, c, d$ und $n, m [mm] \in \IZ$. [/mm] (Die Faelle [mm] $q_1 [/mm] = 0$ oder [mm] $q_2 [/mm] = 0$ kannst du vorher schnell abhandeln.)
In dem Fall ist [mm] $\nu_p(q_1) [/mm] = n$ und [mm] $\nu_p(q_2) [/mm] = m$.
Dann ist [mm] $q_1 [/mm] + [mm] q_2 [/mm] = [mm] p^{\min\{n, m\}} \frac{adp^{n-\min\{n, m\}}+cbp^{m-\min\{n, m\}}}{bd}$.
[/mm]
Dabei ist $bd$ nicht durch $p$ teilbar, womit [mm] $\nu_p(q_1 [/mm] + [mm] q_2) [/mm] = [mm] \min\{n, m\} [/mm] + [mm] \nu_p(adp^{n-\min\{n, m\}}+cbp^{m-\min\{n, m\}}) \ge \min\{n, m\}$ [/mm] ist.
Damit kannst du jetzt schnell die starke Dreiecksungleichung [mm] $|q_1 [/mm] + [mm] q_2|_p \le \max\{ |q_1|_p, |q_2|_p \}$ [/mm] zeigen, aus der sofort die schwache (normale) Dreiecksungleichung folgt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Mo 09.01.2012 | | Autor: | diab91 |
Hallo felixf.
Erst Mal vielen Dank für deine Hilfe.
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> Es ist einfacher, ewnn du [mm]q_1 = p^n \frac{a}{b}[/mm] und [mm]q_2 = p^m \frac{c}{d}[/mm]
> schreibst mit [mm]a, b, c, d \in \IZ \setminus \{ 0 \}[/mm], [mm]p \nmid a, b, c, d[/mm]
> und [mm]n, m \in \IZ[/mm]. (Die Faelle [mm]q_1 = 0[/mm] oder [mm]q_2 = 0[/mm] kannst
> du vorher schnell abhandeln.)
>
> In dem Fall ist [mm]\nu_p(q_1) = n[/mm] und [mm]\nu_p(q_2) = m[/mm].
>
> Dann ist [mm]q_1 + q_2 = p^{\min\{n, m\}} \frac{adp^{n-\min\{n, m\}}+cbp^{m-\min\{n, m\}}}{bd}[/mm].
>
> Dabei ist [mm]bd[/mm] nicht durch [mm]p[/mm] teilbar, womit [mm]\nu_p(q_1 + q_2) = \min\{n, m\} + \nu_p(adp^{n-\min\{n, m\}}+cbp^{m-\min\{n, m\}}) \ge \min\{n, m\}[/mm]
> ist.
>
> Damit kannst du jetzt schnell die starke
> Dreiecksungleichung [mm]|q_1 + q_2|_p \le \max\{ |q_1|_p, |q_2|_p \}[/mm]
> zeigen, aus der sofort die schwache (normale)
> Dreiecksungleichung folgt.
Ok. Sei o.B.d.A max{n,m} = n [mm] \Rightarrow [/mm] m [mm] \le [/mm] m + [mm] v_{p}(adp^{n-m} [/mm] +cb) = m + (n-m) = n [mm] \Rightarrow |q_1 [/mm] + [mm] q_2|_p \le \max\{ |q_1|_p, |q_2|_p \} \le |q_{1}|_{p} [/mm] + [mm] |q_{2}|_{p}.
[/mm]
Ist das so korrekt? Oder habe ich da einen Denkfehler drin?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mo 09.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Es ist einfacher, ewnn du [mm]q_1 = p^n \frac{a}{b}[/mm] und [mm]q_2 = p^m \frac{c}{d}[/mm]
> > schreibst mit [mm]a, b, c, d \in \IZ \setminus \{ 0 \}[/mm], [mm]p \nmid a, b, c, d[/mm]
> > und [mm]n, m \in \IZ[/mm]. (Die Faelle [mm]q_1 = 0[/mm] oder [mm]q_2 = 0[/mm] kannst
> > du vorher schnell abhandeln.)
> >
> > In dem Fall ist [mm]\nu_p(q_1) = n[/mm] und [mm]\nu_p(q_2) = m[/mm].
> >
> > Dann ist [mm]q_1 + q_2 = p^{\min\{n, m\}} \frac{adp^{n-\min\{n, m\}}+cbp^{m-\min\{n, m\}}}{bd}[/mm].
>
> >
> > Dabei ist [mm]bd[/mm] nicht durch [mm]p[/mm] teilbar, womit [mm]\nu_p(q_1 + q_2) = \min\{n, m\} + \nu_p(adp^{n-\min\{n, m\}}+cbp^{m-\min\{n, m\}}) \ge \min\{n, m\}[/mm]
> > ist.
> >
> > Damit kannst du jetzt schnell die starke
> > Dreiecksungleichung [mm]|q_1 + q_2|_p \le \max\{ |q_1|_p, |q_2|_p \}[/mm]
> > zeigen, aus der sofort die schwache (normale)
> > Dreiecksungleichung folgt.
>
>
> Ok. Sei o.B.d.A max{n,m} = n [mm]\Rightarrow[/mm] m [mm]\le[/mm] m +
> [mm]v_{p}(adp^{n-m}[/mm] +cb) = m + (n-m) = n [mm]\Rightarrow |q_1[/mm] +
> [mm]q_2|_p \le \max\{ |q_1|_p, |q_2|_p \} \le |q_{1}|_{p}[/mm] +
> [mm]|q_{2}|_{p}.[/mm]
>
> Ist das so korrekt? Oder habe ich da einen Denkfehler drin?
Das stimmt noch nicht ganz: [mm] $v_{p}(adp^{n-m}[/mm] [/mm] +cb)$ ist im allgemeinen nicht $n - m$! Du weisst nur, dass es [mm] $\ge [/mm] 0$ ist. Mehr brauchst du aber auch nicht...
LG Felix
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