p Primzahl => p teilt p über k < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Di 10.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wie der Titel schon sagt, sollte ich zeigen, dass, wenn p eine Primzahl ist, dass [mm] $p|\vektor{p \\ k}$ [/mm] gilt für $0<k<p, k [mm] \in \IN$.
[/mm]
Dazu habe ich gezeigt, dass der Binomialkoeffizient [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] natürlich ist für $n,k [mm] \in \IN$, [/mm] da man [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] auf [mm] \vektor{n-1 \\ k} [/mm] und [mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] zurückführen kann, welche man wieder auf "kleinere" Binomialkoeffizienten zurückführen kann (bis man am Ende Binomialkoeffizienten mit $k=0$ oder $k=n$ hat, die ja alle 1 darstellen).
Gemäß der Formel [mm] $\vektor{n \\ k}=\vektor{n-1 \\ k}+\vektor{n-1 \\ k-1}$ [/mm] eben.
Danach habe ich gezeigt, dass k! für k>2 nie eine Primzahl ist.
Da $k!=1*2*...*(k-1)*k=2*(1*3*4*...*(k-1)*k)$ mit $1*3*...*k [mm] \in \IZ$ [/mm] ist k! ein Vielfaches von 2, also keine Primzahl (außer für k=2).
Dann habe ich mal den Binomialkoeffizienten ausgeschrieben.
[mm] \vektor{p \\ k} =\bruch{p(p-1)...(n-p+1)}{k!}
[/mm]
Da [mm] \vektor{p \\ k} \in \IN [/mm] und k! nicht p teilen kann für k>2, muss k! also den Rest teilen, also (p-1)(p-1)...(n-p+1), weswegen man eben auch dann noch [mm] \vektor{p \\ k} [/mm] durch p teilen kann.
Die anderen Fälle:
Fall k=1: p teilt offenbar [mm] \vektor{p \\ 1}=p
[/mm]
Fall k=2: Hier muss dann p wenigstens 3 sein (Bedingung für k), weswegen k! auch nicht p teilt.
Brachte mir alles in allem 0/2 Punkte ein. Kann da jemand einen schwerwiegenden Fehler erkennen?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Di 10.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Teufel!
> Wie der Titel schon sagt, sollte ich zeigen, dass, wenn p
> eine Primzahl ist, dass [mm]p|\vektor{p \\ k}[/mm] gilt für [mm]0
>
> Dazu habe ich gezeigt, dass der Binomialkoeffizient
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] natürlich ist für [mm]n,k \in \IN[/mm], da man
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] auf [mm]\vektor{n-1 \\ k}[/mm] und [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
> zurückführen kann, welche man wieder auf "kleinere"
> Binomialkoeffizienten zurückführen kann (bis man am Ende
> Binomialkoeffizienten mit [mm]k=0[/mm] oder [mm]k=n[/mm] hat, die ja alle 1
> darstellen).
> Gemäß der Formel [mm]\vektor{n \\ k}=\vektor{n-1 \\ k}+\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
> eben.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Danach habe ich gezeigt, dass k! für k>2 nie eine Primzahl
> ist.
> Da [mm]k!=1*2*...*(k-1)*k=2*(1*3*4*...*(k-1)*k)[/mm] mit [mm]1*3*...*k \in \IZ[/mm]
> ist k! ein Vielfaches von 2, also keine Primzahl (außer
> für k=2).
> Dann habe ich mal den Binomialkoeffizienten
> ausgeschrieben.
> [mm]\vektor{p \\ k} =\bruch{p(p-1)...(n-p+1)}{k!}[/mm]
>
> Da [mm]\vektor{p \\ k} \in \IN[/mm] und k! nicht p teilen kann für
> k>2, muss k! also den Rest teilen,
Dies liegt daran, da $k!$ zu $p$ teilerfremd ist! Andernfalls muss das nicht gelten!
Z.B. ist $2 [mm] \cdot [/mm] 3$ ein Teiler von $2 [mm] \cdot [/mm] 9$, aber keiner von 2, jedoch auch keiner von 9.
> also
> (p-1)(p-1)...(n-p+1), weswegen man eben auch dann noch
> [mm]\vektor{p \\ k}[/mm] durch p teilen kann.
>
> Die anderen Fälle:
>
> Fall k=1: p teilt offenbar [mm]\vektor{p \\ 1}=p[/mm]
>
> Fall k=2: Hier muss dann p wenigstens 3 sein (Bedingung
> für k), weswegen k! auch nicht p teilt.
>
> Brachte mir alles in allem 0/2 Punkte ein. Kann da jemand
> einen schwerwiegenden Fehler erkennen?
Siehe oben.
Das "richtige" Argument geht so: du hast ja [mm] $\binom{p}{k} [/mm] = [mm] \frac{p!}{k! (p - k)!}$. [/mm] Jetzt ist $p!$ durch $p$ teilbar, $k!$ und $(p - k)!$ jedoch nicht (da $0 < k < p$). Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in [mm] $\IZ$ [/mm] muss also $p$ ein Teiler von [mm] $\binom{p}{k}$ [/mm] sein, da sich das $p$ aus dem Zaehler nicht durch $p$s aus dem Nenner weggkuerzen kann.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Di 10.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Teufel!
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> > Wie der Titel schon sagt, sollte ich zeigen, dass, wenn p
> > eine Primzahl ist, dass [mm]p|\vektor{p \\ k}[/mm] gilt für [mm]0
>
> >
> > Dazu habe ich gezeigt, dass der Binomialkoeffizient
> > [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] natürlich ist für [mm]n,k \in \IN[/mm], da man
> > [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] auf [mm]\vektor{n-1 \\ k}[/mm] und [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
> > zurückführen kann, welche man wieder auf "kleinere"
> > Binomialkoeffizienten zurückführen kann (bis man am Ende
> > Binomialkoeffizienten mit [mm]k=0[/mm] oder [mm]k=n[/mm] hat, die ja alle 1
> > darstellen).
> > Gemäß der Formel [mm]\vektor{n \\ k}=\vektor{n-1 \\ k}+\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
> > eben.
>
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>
> > Danach habe ich gezeigt, dass k! für k>2 nie eine Primzahl
> > ist.
> > Da [mm]k!=1*2*...*(k-1)*k=2*(1*3*4*...*(k-1)*k)[/mm] mit
> [mm]1*3*...*k \in \IZ[/mm]
> > ist k! ein Vielfaches von 2, also keine Primzahl (außer
> > für k=2).
>
>
>
> > Dann habe ich mal den Binomialkoeffizienten
> > ausgeschrieben.
> > [mm]\vektor{p \\ k} =\bruch{p(p-1)...(n-p+1)}{k!}[/mm]
> >
> > Da [mm]\vektor{p \\ k} \in \IN[/mm] und k! nicht p teilen kann für
> > k>2, muss k! also den Rest teilen,
>
> Dies liegt daran, da [mm]k![/mm] zu [mm]p[/mm] teilerfremd ist! Andernfalls
> muss das nicht gelten!
>
> Z.B. ist [mm]2 \cdot 3[/mm] ein Teiler von [mm]2 \cdot 9[/mm], aber keiner
> von 2, jedoch auch keiner von 9.
>
> > also
> > (p-1)(p-1)...(n-p+1), weswegen man eben auch dann noch
> > [mm]\vektor{p \\ k}[/mm] durch p teilen kann.
> >
> > Die anderen Fälle:
> >
> > Fall k=1: p teilt offenbar [mm]\vektor{p \\ 1}=p[/mm]
> >
> > Fall k=2: Hier muss dann p wenigstens 3 sein (Bedingung
> > für k), weswegen k! auch nicht p teilt.
> >
> > Brachte mir alles in allem 0/2 Punkte ein. Kann da jemand
> > einen schwerwiegenden Fehler erkennen?
>
> Siehe oben.
>
> Das "richtige" Argument geht so: du hast ja [mm]\binom{p}{k} = \frac{p!}{k! (p - k)!}[/mm].
> Jetzt ist [mm]p![/mm] durch [mm]p[/mm] teilbar, [mm]k![/mm] und [mm](p - k)![/mm] jedoch nicht
> (da [mm]0 < k < p[/mm]). Wegen der Eindeutigkeit der
> Primfaktorzerlegung in [mm]\IZ[/mm] muss also [mm]p[/mm] ein Teiler von
> [mm]\binom{p}{k}[/mm] sein, da sich das [mm]p[/mm] aus dem Zaehler nicht
> durch [mm]p[/mm]s aus dem Nenner weggkuerzen kann.
>
> LG Felix
Hallo,
ich vermute einen anderen Knackpunkt.
Aus der Erfahrung wissen wir, das Binomialkoeffizienten dieser Form stets natürliche Zahlen ergeben.
An sich ist der Binomialkoeffizient erst mal nur ein Bruch mit ein paar Fakultäten in Zähler und Nenner, und Brüche sind nicht zwangsläufig natürliche Zahlen.
Erst aus der nachgewiesenen Erkenntnis [mm]\binom{p}{k} \in \IN[/mm] heraus kann man weiter argumentieren.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Di 10.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hm ok, da hab ich's wohl wieder zu kompliziert gemacht. Habe leider nicht mehr extra hingeschrieben, dass kein p in k! ist, na ja...
Aber den einen oder anderen Punkt werde ich trotzdem noch versuchen rauszuleiern.
Danke dir!
Edit: Die Aufgabe kam auf einem Analysis-Zettel vor, wenn es bei der Einordnung hilft.
Zur Vorbereitung darauf, dass man danach wohl den kleinen Fermat beweisen konnte.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Di 10.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hm ok, da hab ich's wohl wieder zu kompliziert gemacht.
> Habe leider nicht mehr extra hingeschrieben, dass kein p in
> k! ist, na ja...
> Aber den einen oder anderen Punkt werde ich trotzdem noch
> versuchen rauszuleiern.
Ja. Im Prinzip brauchst du die Aussage:
Sind $n, m, [mm] \ell$ [/mm] natuerliche (ganze) Zahlen mit $n [mm] \mid [/mm] m [mm] \ell$ [/mm] und sind $n$ und $m$ teilerfremd, so gilt $n [mm] \mid \ell$.
[/mm]
Hier ist $m = p$, [mm] $\ell [/mm] = (p - 1)!$ und $n = k! (p - k)!$. Dass $n [mm] \mid [/mm] m [mm] \ell$ [/mm] gilt ist aequivalent zu [mm] $\binom{p}{k} \in \IN$. [/mm] Und dass $n$ und $m$ teilerfremd sind muss man halt noch zeigen...
> Edit: Die Aufgabe kam auf einem Analysis-Zettel vor, wenn
> es bei der Einordnung hilft.
> Zur Vorbereitung darauf, dass man danach wohl den kleinen
> Fermat beweisen konnte.
Allgemeiner folgt daraus, dass in einem Ring der Charakteristik $p$ gilt $(a + [mm] b)^p [/mm] = [mm] a^p [/mm] + [mm] b^p$. [/mm] (Falls dir Ring der Charakteristik $p$ nichts sagt, ignorier diese Aussage einfach :) )
LG Felix
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