parameterabhängig < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
ich weiss gar nicht, wo da eine saubere Definition zu finden ist, deshalb gebe ich dir einfach mal an, was ich unter einem Parameter verstehe, auch auf die Gefahr hin, dass ich jetzt 3'800-fach ausgelacht werde. Damit muss man leben! 
Für mich ist ein Parameter eine Konstante, die noch festzulegen ist.
Das ist unverständlich, ich weiss, und ruft nach einem erklärenden Beispiel.
Ich untersuche die Funktion
[mm] $y=ax^2+5x$
[/mm]
und will nur wissen, wo sie ihr Minimum hat.
Das ist eine Parabel, die aber je nach eingesetztem Wert für $a_$ eine etwas andere Form hat. (Nach oben geöffnet, nach unten geöffnet, flacher oder enger, für $a=0_$ sogar zu einer Geraden entartet). Die Form des Grafen ist also offensichtlich parameterabhängig.
Die Existenz des Minimums ist jetzt aber auch vom Parameter $a_$ abhängig. Die 2. Ableitung muss ja positiv sein.
$y'=2ax+5_$
$y''=2a$
Damit die Funktion überhaupt ein Minimum annimmt, muss also $a_$ positiv sein.
Und wo liegt das Minimum?
Natürlich bei [mm] $x_0 [/mm] = [mm] \bruch{-5}{2a}$
[/mm]
Das ist somit auch von $a_$ abhängig, nach meinem Begriff also parameterabhängig.
Du siehst also: das $a_$ ist nicht eine 2. Variable, sondern eine Konstante, die noch festzulegen ist.
Mit Hilfe der Parameter kann man aber eine ganze Funktionenschar auf einen Schlag untersuchen.
Hier hätte man übrigens die Funktion wohl so definiert:
[mm] $f_a(x)=ax^2+5x$
[/mm]
Passt das einigermassen in deinen Zusammenhang?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
> Hallo Paul!
> Die Erklärung ist sehr schön und passt so halbwegs. Wir
> hatten eine Funktion [mm]f: A\times B\to\IR[/mm] und hatten dann als
> eine Voraussetzung:
> [mm]\forall y\in[/mm] B ist x [mm]\mapsto[/mm] f(x,y) stetig in a
> Das hieße dann wahrscheinlich, dass das y der Parameter
> ist, oder?
>
Ja, das sehe ich auch so. Die Funktionsdefinition bestätigt das ja auch:
$x [mm] \mapsto [/mm] f(x,y)$
Da wird also nur dem $x_$ etwas zugeordnet, sonst würde es ja heissen:
$(x,y) [mm] \mapsto [/mm] f(x,y)$
Aber eben, dieses $f_$ selber ist noch von $y_$ abhängig. Man hätte also auch, gemäss meiner Bemerkung, so schreiben können:
$x [mm] \mapsto f_y(x)$
[/mm]
>
> Übrigens soll ich dir von meiner "Medizin-Freundin" ganz
> doll für's Daumendrücken danken - die Klausur war sehr gut!
> 
>
Danke, das freut mich!
Liebe Grüsse
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Wenn ich das weiter ausführen darf:
Ein parameterabhängiges Integral ist ein Integral der Form
[mm] $\int\limits_C f(x,y)\, [/mm] dy$.
Wir haben also für jedes $x$ ein anderes Integral. Somit ist hier $x$ ein Parameter, im Sinne von Pauls Definition. Man muss diesen Parameter sozusagen näher festlegen. Ich bekomme also für jeden festen Parameter $x$ ein anderes Integral, also sozusagen eine Familie von Integralen.
Da das Integral also von $x$ abhängt, kann man schreiben:
$F(x) = [mm] \int\limits_C f(x,y)\, [/mm] dy$.
Es stellen sich jetzt allerhand Fragen:
1) Wenn $f$ stetig ist, ist dann auch $F$ stetig?
2) Wenn $f$ differenzierbar ist, ist dann auch $F$ differenzierbar?
3) Nehmen wir mal an $F$ sei differenzierbar. Darf ich, um $F$ zu differenzieren, erst $f$ differenzieren und dann integrieren, also Integration und Differentiation vertauschen? Darf ich also schreiben:
$F'(x) = [mm] \int\limits_C \frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\, [/mm] dy$?
Das sind alles nicht-triviale Fragen, die ihr jetzt in der Vorlesung behandeln werdet. Du solltest dir aber immer klar machen, dass man nichts anderes wissen will als die Antworten zu den obigen drei Fragen. Und die Voraussetzungen, die man in den Sätzen dann braucht, sehen furchtbar kompliziert aus. Aber sie sind häufig erfüllt, gerade wenn man über kompakte Mengen (z.B. beschränkte, abgeschlossene Intervalle in [mm] $\IR$) [/mm] integriert.
Liebe Grüße
Stefan
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