partielle Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:30 Mi 18.06.2008 | | Autor: | JPC |
| Aufgabe | Der in einer 2-Güter-Welt existierende Haushalt besitze die folgende indirekte Nutzenfunktion [mm] u(x1*,x2*)=\beta(ln\beta1+ln(I-p1\gamma1-p2\gamma2)-lnp1)+\beta2(ln\beta2+ln(I-p1\gamma1-p2\gamm2)-lnp2), [/mm] dabei stehe I für das Einkommen, xi für die Menge des i-ten Gutes und pi bezeichne den Preis für das i-te Gut; i=(1,2). Für die Parameter gelte: [mm] \beta [/mm] i>0, [mm] \beta1+\beta2=1 [/mm] und [mm] (xi-\gamma [/mm] i)>0.
Bestimmen Sie die Nachfragefunktionen x1*(p1,p2,I) und x2*(p1,p2,I) des Haushaltes. |
Hallo ihr Lieben,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Aufgabenstellung kommt eigentlich aus der Mikroökonomie, da aber zur Bestimmung der Nachfragefunktionen die Ableitungen zur Verwendung der Roy´s Identität gebildet werden müssen, dachte ich, dass mir hier evt. geholfen werden kann. Und genau da liegt mein Problem. Ich kenne die Formel für die Roy´s Identität und die Ableitungen haben wir im Tutorium auch schon gebildet, wir haben allerdings nicht den Weg von der Ausgangsfuntion zur Ableitung notiert und jetzt bin ich ganz ratlos, weil ich es selber nicht hinbekomme.
Ich weiß, dass die Ableitung von ln(x) 1/x ist, aber was ist mit den ganzen betas und gammas? Bei jedem neuen Ansatz habe ich neue Fehler. Kann mir also bitte jemand helfen? Oder mir wenigstens einen Ansatz geben?
Ich versuche zunächst immer die Augandfunktion vereindacht darzustellen als:
[mm] u(x1\*,x2\*)=\beta1ln((\beta1(I-p1\gamma1-p2\gamma2))/p1)+\beta2ln((\beta2(I-p1\gamma1-p2\gamma2))/p2)
[/mm]
Vielen Dank schonmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Do 19.06.2008 | | Autor: | JPC |
Guten Morgen,
kann mir denn niemand helfen?
Mir ist gerade aufgefallen, dass vielleicht jemand, der sich in der Mikroökonomie nicht auskennt, die Roy´s Identität nicht kennt. Deswegen hier jetzt mal die Formel:
[mm] x1\*(p,I)= [/mm] - (1.Ableitung nach p1) : (1.Ableitung nach I)
Vielleicht wird es für euch auch einfacher, wenn ich mal die Lösung online stelle? (...hätte ich auch schon früher machen können...)
[mm] x1\*(p,I)= \gamma1+((\beta1(I-p1\gamma1-p2\gamma2))/(p1))
[/mm]
Bitte, bitte, kann mir jemand helfen?
Lieben Gruß J
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:08 Do 19.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast die Nutzenfunktion ja wie folgt angegeben:
$ [mm] u(x1\cdot{},x2\cdot{})=\beta(ln\beta1+ln(I-p1\gamma1-p2\gamma2)-lnp1)+\beta2(ln\beta2+ln(I-p1\gamma1-p2\gamm2)-lnp2), [/mm] $
Das ist, da [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] die "Inputvariablen" sind, aber im Funktionsterm nicht mehr vorkommen, eine konstante Funktion, die du sicherlich so nicht meinst.
Schreib bitte diese Funktion nochmal auf, dann aber mit den Variablen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}.
[/mm]
Ausserdem ist es hilfreich, die Indizes tiefzustellen. (x_{1}+\gamma_{1} ergibt [mm] x_{1}+\gamma_{1} [/mm] ) und die Argumente des [mm] \ln [/mm] auch mit Klammern zu verdeutlichen.
Marius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Do 19.06.2008 | | Autor: | JPC |
Hey,
also, ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich dich jetzt richtig verstanden hab, aber ich versuch's mal.
[mm] u(x_{1}\*,x_{2}\*)=\beta_{1}\{ln\beta_{1}+ln(I-p_{1}\gamma_{1}-p_{2}\gamma_{2})-lnp_{1}\} [/mm] + [mm] \beta_{2}\{ln\beta_{2}+ln(I-p_{1}\gamma_{1}-p_{2}\gamma_{2})-lnp_{2}\}
[/mm]
Genau so steht es auf meinem Aufgabenzettel. [mm] u(x_{1}\*,x_{2}\*) [/mm] sagt eigentlich nur aus, dass die Marschall'sche Nachfragefunktion in die Nutzenfunktion eingesetze wurde. Naja, und das ganze soll jetzt also mit der Formel für die Roy's Identität bearbeitet werden.
Mir ist schon klar, was ich machen soll, aber ich bekomme die partiellen Ableitungen nach [mm] p_{1} [/mm] und I nicht hin.
Hoffentlich konnte ich dir weiterhelfen, damit du mir jetzt weiterhelfen kannst?
Gruß J
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Do 19.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dann gebe ich dir die Ableitung nach [mm] p_{1}, [/mm] die nach I funkioniert fast genauso.
[mm] f(p_{1};I)=\beta_{1}\{\red{\ln(\beta_{1})}\green{+\ln(I-p_{1}\gamma_{1}-p_{2}\gamma_{2})}\blue{-\ln(p_{1})}\}+\beta_{2}\{\red{ln\beta_{2}}+\ln(I-p_{1}\gamma_{1}-p_{2}\gamma_{2})\red{-\ln(p_{2})}\}
[/mm]
All die Terme, die "ohne" [mm] p_{1} [/mm] (rot markiert) auftauchen, fallen beim Ableiten weg.
Und die Ableitung von [mm] \ln(I-p_{1}\gamma_{1}-p_{2}\gamma_{2}) [/mm] nach [mm] p_{1} [/mm] geht nach der Kettenregel
Es gilt: [mm] g(p_{1})=\ln(I-p_{1}\gamma_{1}-p_{2}\gamma_{2})
[/mm]
[mm] g'(p_{1})=\underbrace{\bruch{1}{I-p_{1}\gamma_{1}-p_{2}\gamma_{2}}}_{\text{Äußere Ableitung}}*\underbrace{-\gamma_{1}}_{\text{Innere Ableitung}}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{p_{1}}}=\beta_{1}\left(\green{-\bruch{\gamma_{1}}{I-p_{1}\gamma_{1}-p_{2}\gamma_{2}}}\blue{-\bruch{1}{p_{1}}}\right)+\beta_{2}\left(-\bruch{\gamma_{1}}{I-p_{1}\gamma_{1}-p_{2}\gamma_{2}}\right)
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Do 19.06.2008 | | Autor: | JPC |
Vielen Dank!!!
Jetzt seh ich auch wie es funktioniert. Ich weiß auch nicht, ich hab mir ständig nen Knoten gedacht...
Lieben Gruß J
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