partielle Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Mo 02.02.2009 | | Autor: | hayabusa |
| Aufgabe | Wenn gilt: [mm] z=x^2+y^2, x=r*cos\theta, y=r*sin\theta [/mm] und [mm] r^2= x^2+y^2. [/mm]
Wie lautet die partielle Ableitung [mm] (\bruch{\partial z}{\partial x})_\theta [/mm] ?
Wie lautet die partielle Ableitung [mm] \bruch{\partial^2 z}{\partial r *\partial y}? [/mm] |
In der ersten Frage wird eine besondere Schreibweise aus der Physik benutzt. Bei dieser Schreibweise sollen nur diejenigen Variablen vorkommen in z, die einmal im Nenner der partiellen Ableitung steht (hier die Variable x) und einmal als Index außerhalb der Klammer notiert wurde( hier die Variable [mm] \theta). [/mm]
Mein Problem ist:
Ich schaffe es nicht z geeignet umzuschreiben. Kann mir jemand dabei helfen?
In der zweiten Frage wird eine in der Mathematik übliche Schreibweise für partielle Ableitungen gebraucht. Die Lösung lautet hier [mm] \bruch{\partial^2 z}{\partial r *\partial y}=0.
[/mm]
Diese Lösung verstehe ich nicht. Ich muss jetzt weit ausholen, denn:
Würde ich z= [mm] x^2+2y^2 [/mm] nicht mithilfe obiger Gleichungen [mm] x=r*cos\theta, y=r*sin\theta [/mm] etc. umschreiben, also z in Abhängigkeit von x und y belassen, dann würde ich die Lösung verstehen.
Aber in ener anderen Aufgabe bei der folgende partielle Ableitung gesucht wird: [mm] \bruch{\partial^2 z}{\partial y *\partial \theta} [/mm] kommt als Ergebnis [mm] -4*x*csc^2\theta [/mm] heraus und nicht wie erwartet 0.
Wo liegt mein Denkfehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Mo 02.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo hayabusa
[mm] \bruch{\partial z}{\partial x}=2x=2rcos\theta
[/mm]
wo liegt die Schwierigkeit?
wenn du nur die parameterabh. hast also z=r
dann hast du die Kettenregel
[mm] \bruch{\partial z}{\partial x}=\bruch{\partial z}{\partial r}*\bruch{\partial r}{\partial x}
[/mm]
entsprechend
$ [mm] \bruch{\partial^2 z}{\partial r \cdot{}\partial y}=\bruch{\partial}{\partial r}(\bruch{\partial z}{\partial y} [/mm] $
also einfach eins nach den anderen.
(Das ist übrigends die allgemeine Schreibweise fuer partielle ableitungen, nicht nur in der Physik)
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Do 12.02.2009 | | Autor: | hayabusa |
Hallo leduart , die Schwierigkeit in meiner ersten Frage besteht darin, z so umzuschreiben, dass z nur noch in Abhängigkeit von x und [mm] \theta [/mm] dasteht !
Deine Antwort zur ersten Frage verstehe ich, aber die richtige Lösung lautet:
[mm] (\bruch{\partial z}{\partial x})_\theta=2x(1+2*tan^2\theta).
[/mm]
Diese Lösung sieht meiner Meinung nach ganz anders aus als deine Lösung!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Do 12.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hatte offensichtlich das Symbol [mm] \Theta [/mm] unten uebersehen.
gesucht ist also die part. Ableitung bei konstantem [mm] \Theta.
[/mm]
also muss man z wirklich erst umschreiben, und y rauswerfen.
[mm] $y/x=tan\Theta$ [/mm] ; [mm] $y=x*tan\Theta$
[/mm]
[mm] $z=x^2+y^2=x^2+x^2*tan^2\Theta=x^2*(1+tan^2\Theta)$
[/mm]
$ [mm] (\bruch{\partial z}{\partial x})_\theta =2x*(1+tan^2\Theta)$
[/mm]
Schreib bitte naechstes mal gleich alle Informationen ,die du hast, dann geht es schneller!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Fr 13.02.2009 | | Autor: | hayabusa |
Ok. Danke nochmal für die ausführliche Lösung.
Gruß hayabusa
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