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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Sa 29.06.2013 | | Autor: | Aleks |
| Aufgabe | 20.2.1 Der Gegenstrom-Mechanismus
Gelöste Stoffe werden in Flüssigkeiten durch Diffusion zwischen ihren trennenden Membranen ausgetauscht. Da die Austauschrate von der Konzentrationsdifferenz über der Membran abhängt, kann die Austauschrate erhöht werden, indem große Konzentrationsdifferenzen aufrechterhalten werden. Ein wichtiger Weg diese große Konzentrationsdifferenz zu erhalten ist der Gegenstrom-Mechanismus. Wir wir sehen werden, ist der Gegenstrom-Mechanismus eine wichtige renale Funktion. Andere Beispiele die den Gegenstrom-Mechanismus enthalten sind der Austausch von Sauerstoff aus dem Wasser ins Blut durch Fischkiemen und der Austausch des Sauerstoffs in der Plazenta zwischen Mutter und Fötus.
Unter der Annahme, dass 2 Gase oder Flüssigkeiten gelöste Stoffe enthalten, welche entlang von parallelen Röhren fließen und durch permeable Membranen getrennt sind, modellieren wir dies auf den einfachste möglichen Weg als ein eindimensionales Problem und wir nehmen an, dass der Transport der gelösten Stoffe eine lineare Funktion der Konzentrationsdifferenz ist. Dann sind die Konzentrationen in den zwei eindimensionalen Röhren gegeben durch:
(20.15) [mm] $\frac{\partial{C_1}}{\partial{t}} [/mm] + [mm] q_1 \frac{\partial{C_1}}{\partial{x}} [/mm] = d [mm] (C_2 [/mm] - [mm] C_1)$
[/mm]
(20.16) [mm] $\frac{\partial{C_2}}{\partial{t}} [/mm] + [mm] q_2 \frac{\partial{C_2}}{\partial{x}} [/mm] = d [mm] (C_1 [/mm] - [mm] C_2)$
[/mm]
Das mathematische Problem ist die Endkonzentrationen zu finden, da die Anfangskonzentrationen, die Länge des Austauschraumes und die Flussgeschwindigkeiten bekannt sind. Es ist eine relativ einfache Angelegenheit dieses so Modell zu verallgemeinern, dass es für ein Interstitium erlaubt ist (siehe Übung 4).
Wir nehmen an, dass die Flüsse in Steady State sind und das die Zufluss-Konzentrationen [mm] $C^0_1$ [/mm] und [mm] $C^0_2$ [/mm] sind. Dann, wenn wir die beiden bestimmenden Gleichungen addieren und integrieren, finden wir, dass
(20.17) [mm] $q_1C_1 [/mm] + [mm] q_2C_2 [/mm] = k$ (eine Konstante)
Vorausgesetzt, dass k bekannt ist, eliminieren wir C2 von (20.16) und finden die Differentialgleichung für C1,
(20.18) [mm] $\frac{dC_1}{dx} [/mm] = [mm] \frac{d}{q_1q_2} [/mm] (k - [mm] (q_1 [/mm] + [mm] q_2)C_1)$
[/mm]
von der wir lernen, dass
(20.19) [mm] $C_1 [/mm] (x) = [mm] \kappa [/mm] + [mm] (C_1(0) [/mm] - [mm] \kappa) e^{-\lambda x}$,
[/mm]
bei der [mm] $\kappa [/mm] = [mm] \frac{k}{q_1 + q_2}$ [/mm] und $d [mm] \left(\frac{q_1 + q_2}{q_1q_2}\right)$ [/mm] ist. |
Hallo liebe Forengemeinde!
Ich möchte einen kleinen Vortrag über die Henle-Schleife der Niere halten, speziell geht es dabei um den Nachweis, dass diese im Gegenstromprinzip effektiver ist, als im Gleichstromprinzip (Gefäße). Das ganze soll mittels mathematischer Methoden, genauer partieller Differentialgleichungen geschehen.
Dazu habe ich ein Buch, welches mir die nötigen Formeln und Zusammenhänge liefert, aber ich habe arge Probleme die Zwischenschritte nachzuvollziehen und hier seid ihr gefragt! :)
Ich hoffe ich hab's nicht ins falsche Forum gepostet, aber es geht mir primär um die Zwischenschritte.
Der Aufgabentext ist meine Übersetzung aus dem Buch, da der Originaltext englisch ist.
(20.15)
(20.16)
Frage Nr. 1: Wofür steht das d? Kennzeichnet das einfach nur die Differenz? Ein Differentialquotient (zweites d) ist ja auf der rechten Seite nicht zu erkennen.
(20.17)
Frage Nr. 2: Wenn ich beide Gleichungen addiere und das d einfach mal als Differenz ansehe und ausklammere, dann komme ich auf folgendes:
[mm] $\frac{\partial{C_1}}{\partial{t}} [/mm] + [mm] \frac{\partial{C_2}}{\partial{t}} [/mm] + [mm] q_1 \frac{\partial{C_1}}{\partial{x}} [/mm] + [mm] q_2 \frac{\partial{C_2}}{\partial{x}} [/mm] = d [mm] (C_2 [/mm] - [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_1 [/mm] - [mm] C_2)$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial{C_1}}{\partial{t}} [/mm] + [mm] \frac{\partial{C_2}}{\partial{t}} [/mm] + [mm] q_1 \frac{\partial{C_1}}{\partial{x}} [/mm] + [mm] q_2 \frac{\partial{C_2}}{\partial{x}} [/mm] = 0$
Und jetzt würde ich integrieren? Aber kann man einfach partielle Differentiale integrieren? Ich steh da grad ein bisschen auf dem Schlauch und die Schule ist auch schon etwas her. :)
Jedenfalls komme ich an der Stelle schon nicht weiter.
(20.18)
Frage Nr. 3: Ich hab an dieser Stelle die Gleichung (20.17) einfach nach [mm] $C_2$ [/mm] umgestellt und in (20.16) eingesetzt, aber da bekomme ich eine riesen Gleichung, die mir auch nicht zu stimmen scheint. Muss ich hier vorher noch integrieren (Frage Nr. 2) und dann einsetzen oder muss ich erst die Variablen für die Anfangskonzentrationen ersetzen, wie oben erwähnt?
(20.19)
Frage Nr. 4: Hier ist wieder dieses komische d :-? und ich denke hier hat man einfach integriert (linke Seite), aber wie integriert man die rechte Seite? Wie kommen die Autoren da plötzlich auf ne e-Funktion?
Es geht dann noch weiter, aber ich denke das reicht erstmal.
Für ein paar Denkanstöße wäre ich echt unendlich dankbar!
Vielen Dank und LG
Aleks
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Sa 29.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
d hat nichts mit Differentialen zu tun, sondern ist einfach eine Konstante, nenn sie K wenn es dich stört.
die gewühnliche DGl hat ausmultipliziert die Form C1=y
[mm] y'=d*\kappa-\lambda*y
[/mm]
mit [mm] \kappa [/mm] und [mm] \lambda [/mm] wie angegeben.
das ist eine inhomogene Dgl.
die homogene ist [mm] y'=-\lambda*y [/mm] entweder sieht man die Lösung oder man schreibt
[mm] dy/dt=-\lambda*y
[/mm]
[mm] dy/y=-\lambda
[/mm]
rechts und links integrieren ;
[mm] ln|y|=-\lambda*t+A [/mm] beide Seiten e hoch:
[mm] y=B*e^{-\lambda*t} [/mm] mit [mm] B=e^A
[/mm]
dazu die einfach zu ratende partikuläre Lösung der inhomogenen Gl
[mm] y=\kappa [/mm] y'=0 erfüllt die Dgl.
Klar so?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:23 So 30.06.2013 | | Autor: | Aleks |
Hallo Leduart und danke dir für deine Antwort!
Leider bin ich in Sachen DGL nicht ganz so fit und ich hatte mir die Umformungen anfänglich einfacher vorgestellt.
Frage Nr. 1: Danke, da hatte ich ein Brett vor dem Kopf, denn auf die Idee einer einfach Konstanten bin ich nicht gekommen.
Frage Nr. 2: Kann man hier einfach
[mm] $C_1(t) [/mm] + [mm] C_2(t) [/mm] + [mm] q_1 C_1(x) [/mm] + [mm] q_2 C_2(x) [/mm] = 0$
[mm] $q_1 C_1(x) [/mm] + [mm] q_2 C_2(x) [/mm] = - [mm] C_1(t) [/mm] - [mm] C_2(t)$
[/mm]
schreiben, wobei $k = - [mm] C_1(t) [/mm] - [mm] C_2(t) [/mm] = [mm] q_1 C_1(x) [/mm] + [mm] q_2 C_2(x)$?
[/mm]
Das käme der Lösung zumindestens recht nahe? Verschwindet dann die Zeit- bzw. Ortabhängigkeit, aufgrund des Fließgleichgewichtes (Steady State), so dass folgt:
$k = - [mm] C_1 [/mm] - [mm] C_2 [/mm] = [mm] q_1 C_1 [/mm] + [mm] q_2 C_2$
[/mm]
Lösung: (20.17) [mm] $q_1C_1 [/mm] + [mm] q_2C_2 [/mm] = k$ (eine Konstante)
Frage Nr. 3: Hab ich leider noch keine neue Idee.
Frage Nr. 4: Ok, das hat mir auf jeden Fall schon mal weitergeholfen!
Mit $y = [mm] C_1$ [/mm] und $y' = [mm] \frac{dC_1}{dx}$ [/mm] folgt
$y' = [mm] \frac{d (k - (q_1 + q_2)C_1)}{q_1q_2}$
[/mm]
$y' = [mm] \frac{dk - d C_1(q_1 + q_2)}{q_1q_2}$
[/mm]
$y' = [mm] \frac{dk}{q_1 q_2} [/mm] - [mm] \frac{C_1 d (q_1 + q_2)}{q_1q_2}$
[/mm]
$y' = [mm] \frac{dk}{q_1 q_2} [/mm] - y [mm] \lambda$
[/mm]
Hier kann ich doch das [mm] $\kappa$ [/mm] nicht einsetzen, weil der Nenner nicht übereinstimmt?! -> [mm] $\kappa [/mm] = [mm] \frac{k}{q_1 + q_2}$
[/mm]
> Hallo
> d hat nichts mit Differentialen zu tun, sondern ist
> einfach eine Konstante, nenn sie K wenn es dich stört.
> die gewühnliche DGl hat ausmultipliziert die Form C1=y
> [mm]y'=d*\kappa-\lambda*y[/mm]
> mit [mm]\kappa[/mm] und [mm]\lambda[/mm] wie angegeben.
> das ist eine inhomogene Dgl.
> die homogene ist [mm]y'=-\lambda*y[/mm] entweder sieht man die
> Lösung oder man schreibt
> [mm]dy/dt=-\lambda*y[/mm]
> [mm]dy/y=-\lambda[/mm]
-> Warum verschwindet hier einfach das dt? Das ist mir nicht klar.
> rechts und links integrieren ;
> [mm]ln|y|=-\lambda*t+A[/mm] beide Seiten e hoch:
> [mm]y=B*e^{-\lambda*t}[/mm] mit [mm]B=e^A[/mm]
> dazu die einfach zu ratende partikuläre Lösung der
> inhomogenen Gl
> [mm]y=\kappa[/mm] y'=0 erfüllt die Dgl.
Sind die Lösungen relevant für die Termunformung?
Die Frage ist ja, wie die Autoren dann weiter auf
(20.19) [mm] $C_1 [/mm] (x) = [mm] \kappa [/mm] + [mm] (C_1(0) [/mm] - [mm] \kappa) e^{-\lambda x}$
[/mm]
kommen?
> Klar so?
> Gruss leduart
Danke dir für deine Hilfe!
Gruß Alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 So 30.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ich denke [mm] \kappa=dk/(q_1*q_2) [/mm] ist richtig, das + eine Druckfehler?
2. in
[mm] dy/y=.\lambda*dt [/mm] hatte ich das dt vergessen.
3, ich hatte dir die Lösung der Dgl aufgeschrieben:
[mm] y=\kappa+B*e^{-\lambda*t}
[/mm]
mit [mm] y(0)=C_1(0)
[/mm]
folgt [mm] C_1(0)=\kappa+B, [/mm] also [mm] B=C_1(0)-\kappa
[/mm]
und damit die gegebene Lösung.
Deine Fragen sind etwas schwer einzuordnen. Wenn du etwas mathematisch erklären willst und einfach lineare Dgl nicht lösen kannst, wie willst du dann was erklären?
den Schritt von den partiellen Dgl zu der Gewöhnlichen hab ich nicht nachgerechnet, sondern die nur die gewöhnliche Dgl Lösung erklärt. ich hoffe du hast den Schritt selbst nachgerechnet.
Gruss leduart
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