partielle Integr. und Substit. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Integrale:
a) [mm] \integral_{0}^{3}{x^3 * \wurzel{9-x^2} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{1}{x * ln(x)^2 dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{0}^{1}{cos(ax)cos(bx) dx} [/mm] ; a>b>0 |
Hallo 
zu a)
habe herausgefunden, dass durch substitution
x = 3sin(t), dx = [mm] \bruch{3dt}{cos^2(t)}, \wurzel{9-x^2} [/mm] = 3*cos(t)
die zu lösen ist.
also hab ich :
[mm] \integral_{0}^{3*cos(1)}{9sin(t)*3*cos(t)* \bruch{3}{cos^2(t)}}
[/mm]
= 81 * [mm] \integral_{0}^{3cos(t)}{tan(t)}
[/mm]
= noch einmal substituieren??
zu b)
Kommt mir komisch vor, dass die untere Grenze 0 ist, da für den ln nicht erlaubt. Käme durch p.I. auf:
[mm] \integral [/mm] 2x ln(x)
= [mm] x^2*ln(x)| [/mm] - [mm] \integral x^2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
= [mm] x^2*ln(x)| [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x^2|
[/mm]
wenn man nun die Grenzen einsetzten will gibts doch nix raus oder?
zu c)
da muss ich wohl wieder substituieren, komme aber leider nicht auf den ansatz.
Über Hilfe freu ich mich
Gruß Guido
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Di 13.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a)
mit x=3sint ist dx=3cost*dt wie du auf dein dx kommst weiss ich nicht.
zub) Scheint mit richtig, du brauchst den GW für x gegen 0
schreib es als [mm] lnx/(1/x^2) [/mm] und wende L'Hopital an.
Bei c) fällt mir nur partielle Integration ein.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:05 Mi 14.11.2007 | | Autor: | crashby |
Hey,
zu c noch was.
du kann das auch so schreiben:
Verwende die Formel für Vielfache von Winkeln. Damit kommst du auf:
[mm]\int{\frac{1}{2}\cdot cos((a-b)\cdot x)+\frac{1}{2}cos((a+b)x)) dx}[/mm]
ja aber selbst jetzt wird es noch ein rieser Aufwand :)
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:31 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Master_G_A |
danke werd ich grad testen
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hi leduart, danke schon mal.
Bekomme bei b) durch L'Hospital den Grenzwert 0 raus.
also wird der erste Teil bei den Grenzen 1 und bei Null -> 0
Bleibt noch -1/2 [mm] x^2| [/mm] = -1/2
a) klar. Muss dx = 3cost dt sein
so bekomm ich
[mm] \integral_{0}^{3*cos(1)}{(3*sin(t))^39*cos^2(t)}
[/mm]
= 729 [mm] \integral_{0}^{3*cos(t)}{sin^3(t)*cos^2(t)}
[/mm]
Kommt mir leider schon wieder komisch vor. Hab gefunden, dass man
[mm] sin\alpha*cos\beta [/mm] = [mm] 1/2(sin(\alpha-\beta) [/mm] + [mm] sin(\alpha+\beta))
[/mm]
schreiben kann, was in meinem Fall zu
= 1/2 sin(2t) führen würde.
also auch zu:
729 [mm] \integral_{0}^{3*cos(t)}{sin(t)*sin(2t)}
[/mm]
ist das möglich und bis hierhin auch richtig?
c)kann ich zwar partiell ableiten aber irgendwie bekomm ich die ax und bx nicht raus... ?
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Hallo Guido,
> hi leduart, danke schon mal.
>
> Bekomme bei b) durch L'Hospital den Grenzwert 0 raus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> also wird der erste Teil bei den Grenzen 1 und bei Null ->
> 0
> Bleibt noch -1/2 [mm]x^2|[/mm] = -1/2
Nicht ganz, nach dem, was ich entziffern konnte, ist deine Stammfkt. nicht ganz richtig.
Du musst zweimal partiell integrieren und solltest auf [mm] $F(x)=\left[\frac{x^2\ln^2(x)}{2}-\frac{x^2\ln(x)}{2}+\frac{x^2}{4}\right]_0^1$ [/mm] kommen
Das konvergiert dann gegen [mm] $\frac{1}{4}$
[/mm]
>
> a) klar. Muss dx = 3cost dt sein
> so bekomm ich
> [mm]\integral_{0}^{3*cos(1)}{(3*sin(t))^39*cos^2(t)}[/mm]
> = 729 [mm]\integral_{0}^{3*cos(t)}{sin^3(t)*cos^2(t)}[/mm]
>
> Kommt mir leider schon wieder komisch vor. Hab gefunden,
> dass man
> [mm]sin\alpha*cos\beta[/mm] = [mm]1/2(sin(\alpha-\beta)[/mm] +
> [mm]sin(\alpha+\beta))[/mm]
> schreiben kann, was in meinem Fall zu
> = 1/2 sin(2t) führen würde.
>
> also auch zu:
> 729 [mm]\integral_{0}^{3*cos(t)}{sin(t)*sin(2t)}[/mm]
> ist das möglich und bis hierhin auch richtig?
Puh, keine Ahnung, das sieht aber eher noch schlimmer aus als das Ausgangsintegral 
Versuch's mit ner einfacheren Substitution:
setzte [mm] $u:=9-x^2$, [/mm] dann kommst du auf ein relativ einfaches Integral
>
> c)kann ich zwar partiell ableiten ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
integrieren meinst du
> aber irgendwie bekomm ich
> die ax und bx nicht raus... ?
Wenn du wieder zweimal partiell integrierst, bekommst du wieder das Ausgangsintegral heraus, kannst also die Gleichung danach umstellen...
LG
schachuzipus
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