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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:20 Fr 05.01.2007 | | Autor: | cardia |
| Aufgabe | [mm] \integral{x*e^{x}*cos(x) dx}
[/mm]
Zu lösen durch Partielle Integration |
Hallo Zusammen!
Irgendwie habe ich das, mit der Partiellen Integration, immer ncoh nicht verstanden. Wer kann mir ("nichtmathematiker") mal auf die Sprünge helfen?!
Ich habe da wieder folgenden Ansatz gemacht:
einmal umschreiben damits besser aussieht
[mm] =\integral{x*cos(x)*e^{x} dx}
[/mm]
u(x)=x*cos(x)
[mm] \bruch{du}{dx}=cos(x)-x*sin(x)
[/mm]
[mm] \bruch{dv}{dx}=e^{x}
[/mm]
[mm] dv(x)=e^{x}
[/mm]
[mm] =x*cox(x)*e^{x}-\integral{(cos(x)-x*sin(x))*e^{x} dx}
[/mm]
u(x)=cos(x)-x*sin(x)
[mm] \bruch{du}{dx}=-2*(sin(x)+x*cos(x))
[/mm]
[mm] \bruch{dv}{dx}=e^{x}
[/mm]
[mm] dv(x)=e^{x}
[/mm]
[mm] =x*cos(x)*e^{x}-(cos(x)-x*sin(x))*e^{x}-\integral{-2*(sin(x)+x*cos(x))*e^{x} dx}
[/mm]
.... das ist doch schon wieder so eine unendliche Geschichte!
Darf ich das Integral nicht umstellen (wie anfangs gemacht)? Das bleibt doch gleich. Oder darf ich mir nicht frei auswählen was meine zunächst unbekannte Ableitung ist und was nicht?
Ich verzweifel hier echt an solchen Sachen. :-((
Danke!
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> [mm]\integral{x*e^{x}*cos(x) dx}[/mm]
>
> Zu lösen durch Partielle Integration
> Irgendwie habe ich das, mit der Partiellen Integration,
> immer ncoh nicht verstanden. Wer kann mir
> ("nichtmathematiker") mal auf die Sprünge helfen?!
Hallo,
ich habe mir Deinen Ansatz angeschaut, und ich habe den Eindruck, daß Du das mit der partiellen Integration sehr gut verstanden hast.
>
> Ich habe da wieder folgenden Ansatz gemacht:
>
> einmal umschreiben damits besser aussieht
> [mm]=\integral{x*cos(x)*e^{x} dx}[/mm]
> u(x)=x*cos(x)
> [mm]\bruch{du}{dx}=cos(x)-x*sin(x)[/mm]
> [mm]\bruch{dv}{dx}=e^{x}[/mm]
> [mm]dv(x)=e^{x}[/mm]
> [mm]=x*cox(x)*e^{x}-\integral{(cos(x)-x*sin(x))*e^{x} dx}[/mm]
Bis hierher ist alles richtig.
>
> u(x)=cos(x)-x*sin(x)
> [mm]\bruch{du}{dx}=-2*(sin(x)+x*cos(x))[/mm]
richtig heißt es [mm] hier:\bruch{du}{dx}=-2sin(x)-xcosx
[/mm]
> [mm]\bruch{dv}{dx}=e^{x}[/mm]
> [mm]dv(x)=e^{x}[/mm]
>
Das ergibt dann
[mm] ...=x*cox(x)*e^{x}-[(cos(x)-x*sin(x))e^x- \integral(-2sin(x)-xcosx)e^xdx]
[/mm]
[mm] =x*cox(x)*e^{x}- (cos(x)-x*sin(x))e^x- \integral2sin(x)e^xdx [/mm] - [mm] \integral(xcosxe^x)dx
[/mm]
>
> .... das ist doch schon wieder so eine unendliche
> Geschichte!
Nein, nein, das wird zwar lang, aber nicht unendlich.
Jetzt kommt ein "Trick", welcher vor allem bei Integralen mit sin oder cos des öfteren nützlich ist:
Wir haben nun
[mm] \integral{x*cos(x)*e^{x} dx}=x*cox(x)*e^{x}- (cos(x)-x*sin(x))e^x- 2\integral(sin(x)e^x)dx [/mm] - [mm] \integral(xcosxe^x)dx
[/mm]
<==>
(*) [mm] 2\integral{x*cos(x)*e^{x} dx}=x*cox(x)*e^{x}- (cos(x)-x*sin(x))e^x- 2\integral(sin(x)e^x)dx
[/mm]
> Ich verzweifel hier echt an solchen Sachen.
Du siehst: dazu besteht überhaupt kein Grund. Du kannst partiell integrieren, Rechenfehler macht jeder.
Das einzige, was Du nun noch tun mußt, ist, durch zweimalige partielle Integration und Anwenden des "Tricks" [mm] \integral(sin(x)e^x)dx [/mm] zu berechnen.
Dann bei (*) einsetzen, und schon bist Du fertig...
Gruß v. Angela
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