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| Aufgabe | | Integralrechnung : 2*partielle Integration |
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Hallo, ich habe 2 Fragen, eine allgemeine und eine spezielle.
1 - die allgemeine :
ich habe als allgemeine formel der partiellen integration
[mm] \integral_{a}^{b}{uv' dx} [/mm] = <uv> - [mm] \integral_{a}^{b}{u'v dx}
[/mm]
Wenn ich [mm] \integral_{}^{}{x sin x dx } [/mm] nun partiell integriere
und x = u bzw. sin x = v'
setze erhalte ich
[mm] \integral_{}^{}{x sin x dx } [/mm] = - x cos x - [mm] \integral_{}^{}{-cos x dx}
[/mm]
ok, aber wenn ich nun u und v genau andersherum definierte, ist doch das ergebnis der partiellen integration ein ganz anderses (oder?). wer sagt mir denn nun, was ich als u oder v zu setzen habe, oder missverstehe ich den sinn dieser methode? (wahrscheinlich)
2. - die spezielle frage.
ich kapier hier den letzten rechen-/umformungsschritt nicht.
Ausgehend von
[mm] \integral_{}^{}{ e^{ax} * sin bx dx}
[/mm]
erhalte ich nach zweimaliger partieller integration
[mm] \integral_{}^{}{ e^{ax} * sin bx dx} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{b} e^{ax} [/mm] cos bx + [mm] \bruch{a}{b^2} e^{ax} [/mm] sin bx - [mm] \bruch{a^2}{b^2} \integral_{}^{}{ e^{ax}* sin bx dx}
[/mm]
das ist gegeben und kann ich nachvollziehen.
nun steht dort, man soll den ausdruck ganz rechts auf die linke seite bringen und erhält
[mm] \integral_{}^{}{ e^{ax} * sin bx dx} [/mm] = [mm] \bruch{e^{ax}}{a^2 + b^2} [/mm] (a sin bx - b cos bx)
das ist mir schleierhaft. Wäre jemand so lieb, und mir diesen letzten umformungsschritt zu erklären?
vielen dank, markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Do 19.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo JoeDoe!
Zunächst zu Deiner allgemeinen Frage, was man als $u_$ bzw. als $v'_$ wählen soll. Zum einen sollte es immer Ziel sein, dass das entstehende Integral [mm] $\integral{u'*v}$ [/mm] einfacher als das Ausgangsintegral ist.
Von daher springt hier die Wahl $u \ := \ x$ schon in's Auge, da sich das Folgeintegral mit $u' \ = \ 1$ stark vereinfacht. Aber auch hier gibt es Ausnahmen (Beispiel: [mm] $\integral{\ln(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\red{1}*\ln(x) \ dx} [/mm] \ = \ ...$ ).
Von daher gehört also auch ein gewisses Maß an Übung und "Auge" dazu, um den richtigen Ansatz sogleich zu erkennen (frei nach der mathematischen Weisheit: "Differenzieren ist Handwerk, Integrieren dagegen Kunst ..."  ).
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Do 19.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo JoeDoe!
Hier wird am Ende schlicht und ergreifend eine Äquivalenzumformung vorgenommen, wie Du es sonst vom Gleichunglösen kennst.
[mm]\integral{e^{ax} * \sin(bx) \ dx} \ = - \ \bruch{1}{b} e^{ax}*\cos( bx) +\bruch{a}{b^2} e^{ax}*\sin (bx) -\bruch{a^2}{b^2}* \integral{ e^{ax}* \sin (bx) \ dx}[/mm] [mm] $\left| \ + \ \bruch{a^2}{b^2}* \integral{ e^{ax}* \sin (bx) \ dx}$
$\gdw$ [/mm] [mm]\integral{e^{ax} * \sin(bx) \ dx}+\bruch{a^2}{b^2}* \integral{ e^{ax}* \sin (bx) \ dx} \ = - \ \bruch{1}{b}*e^{ax}*\cos( bx) +\bruch{a}{b^2}*e^{ax}*\sin (bx)[/mm]
Nun wird auf der linken Seite das Integral ausgeklammert und anschließend die Klammer zusammengefasst:
[mm] $\integral{e^{ax} * \sin(bx) \ dx}+\bruch{a^2}{b^2}* \integral{ e^{ax}* \sin (bx) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{e^{ax} * \sin(bx) \ dx}*\left(1+\bruch{a^2}{b^2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \integral{e^{ax} * \sin(bx) \ dx}*\bruch{b^2+a^2}{b^2}$
[/mm]
Nun noch die Gleichung mit [mm] $\bruch{b^2}{a^2+b^2}$ [/mm] multiplizieren ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Do 19.07.2007 | | Autor: | JoeDoeIII |
klasse, vielen vielen dank für die antwort.
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