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Kann mir Bitte jmd. kurz und knapp erklären, was die partielle Integration ist, bzw. erklären, wann ich diese Anwenden soll?
Ich soll die AUfgabe f(x)=x*sinx berechnen und weiß einfach nicht, wie ich da ran gehen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Di 21.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hi DominicVandrey,
also part. Integration ist eine Technik um Stammfunktionen explizit berechnen zu können.
Da die Herleitung recht einfach ist gebe ich sie mit an, so kann man sichs eigentlich auch am besten merken.
Wir fangen mit der Produktregel der Differentialrechung an:
f und g sind Funktionen von x
(f * g)' = f' g + f g'
Letzer Sumand auf die andere Seite
f' g = (f * g)' - f g'
Beide Seiten integrieren
[mm] \int [/mm] f' g = [mm] \int [/mm] (fg)' - [mm] \int [/mm] fg'
[mm] \int [/mm] f' g = fg - [mm] \int [/mm] fg'
Du hast also ein Produkt von zwei Funktionen und darfst die Rollen die sie einnehmen (f' oder g) zuweisen.
Je nach dem wie du die Rollen verteilst kommt mehr oder weniger was schönes /unschönes raus.
Was wollen wir hier?
Man sieht, in einem Schritt müssen wir eine unserer Ausgangsfunktionen integrieren, die andere differenzieren.
Da das x etwas stört setzte f' = sin und g = x.
Dann hast du in deinem Integral hinten später kein x mehr.
So jetzt bist du dran ;)
Grüße Mumrel
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Okay.
Also wenn f'(x)= sinx ist, dann muss f(x)= -cosx sein.
Und wenn g(x)= x ist, dann muss g'(x)= 1 sein.
Demnach müsste sich für: $ [mm] \int [/mm] $ f' * g= $ [mm] \int [/mm] $ f * g - $ [mm] \int [/mm] $ f * g'
= $ [mm] \int [/mm] $ x * sinx = $ [mm] \int [/mm] $ -x * cosx - $ [mm] \int [/mm] $ -cosx
ergeben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Di 21.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dominic!
Du hast die Formel richtig angewandt. Allerdings lautet die Formel für die partielle Integration (nur 2 Integralzeichen!):
[mm] $\integral{f'*g} [/mm] \ = \ [mm] f*g-\integral{f*g'}$
[/mm]
Damit ergibt sich bei Dir: [mm] $\integral{x*\sin(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] x*[-\cos(x)]-\integral{1*[-\cos(x)] \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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Stimm. Gut alles klar. Mein Fehler.
Aber wie geht es jetzt weiter, muss das doch irgendwie noch weiterführen können oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Di 21.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dominic!
Nun musst Du halt noch das letzte Integral [mm] $-\integral{1*[-\cos(x)] \ dx} [/mm] \ = \ [mm] +\integral{\cos(x) \ dx}$ [/mm] bestimmen.
Gruß
Loddar
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Da die Integration die Umkehrung der Differentiation ist, versucht man, alle Differentiationsregeln auf die Integration zu übertragen. Die Faktor- und Summen-/DifferenzRegel sind sofort klar, ebenso die Regeln für das Integrieren von [mm] x^n.
[/mm]
Daneben gibt es nun auch noch die Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. Während die Umkehrung der Quotientenregeln so gut wir unbrauchbar ist, führen die Umkehrungen von Produkt- und Kettenregel auf die Partielle Integration bzw. auf die Substitutionsregel beim Integrieren und sind damit mächtige Integrationswerkzeuge.
Zur Partiellen Integration:
u und v sollen Funktionen von x sein, das (x) lasse ich hier aus schreibtechnischen Gründen immer weg. Die Produktregel besagt nun:
(uv)' = u'v + uv'.
Das gibt umgestellt: uv' = (uv)'-u'v (1. Fall)
oder, falls beliebt, u'v = (uv)'-uv' (2. Fall)
(Merke einfach: das Häkchen wechselt von links nach rechts zwischen u und v.)
Beide Seiten integriert nach x gibt im 1. Fall:
[mm] \integral_{a}^{b}{uv' dx}=\integral_{a}^{b}{(uv)' dx}-\integral_{a}^{b}{u'v dx} [/mm] und damit
[mm] \integral_{a}^{b}{uv' dx}=(uv)\vmat{ b \\ a}-\integral_{a}^{b}{u'v dx} [/mm] ( ich habe extra das bestimmte Integral genommen, damit man sieht, dass man ggf. bei uv die Grenzen a und b einsetzen muss. Das könnte im konkreten Fall z.B. dazu führen, dass der ganze Term wegfällt. Beim unbestimmten Integral steht dort einfach nur die Stammfunktion.)
Analog ergibt sich für den 2 Fall:
[mm] \integral_{a}^{b}{u'v dx}=(uv)\vmat{ b \\ a}-\integral_{a}^{b}{uv' dx}.
[/mm]
Was soll das nun?
Ganz einfach: Kannst du das linke Integral nicht lösen, versuchst du es einfach mit der rechten Seite. Das ist alles. Es sieht nach nichts aus, bringt aber in vielen Fällen den ultimativen Kick.
Beispiel:
[mm] \integral_{a}^{b}{xsinx dx}
[/mm]
Du hast jetzt die Wahl, x als u und sinx als v' oder x als u' und sinx als v zu "identifizieren".
Legst du dich auf x=u fest, erhältst du auf der rechten Seite u'=x'=1 als Faktor - besser gehts gar nicht!
Legst du dich auf x=u' fest, erhältst du auf der rechten Seite [mm] u=\bruch{1}{2}x^2 [/mm] als Faktor, dein Term wird komplizierter.
Also legen wir fest: x=u und sinx=v'. Daraus ergibt sich dann sofort v=-cosx. Jetzt kannst du folgendes schreiben (gewöhne dir an, wie ich hier die u-v-Schreibweise darunter zu setzen, um alles zu überprüfen):
[mm] \integral [/mm] (x sinx [mm] dx)=x(-cosx)-\integral [/mm] (1 (-cosx) dx)
[mm] \integral [/mm] u v' dx = u v [mm] -\integral [/mm] u' v dx
das rechte Integral kannst du lösen!
[mm] \integral [/mm] xsinx [mm] dx=x(-cosx)+\integral [/mm] cosx dx
[mm] \integral [/mm] xsinx dx=-x cosx + sinx
Damit hast du die Stammfunktion gefunden.
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Okay das habe ich soweit verstanden.
Wie komme ich allerdings von cosx dx auf sinx (Rechenweg)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Di 21.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dominic!
Ganau so wie [mm] $\cos(x)$ [/mm] die Ableitung von [mm] $\sin(x)$ [/mm] ist, ergibt sich hier als Umkehrung der Ableitung: [mm] $\integral{\cos(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \sin(x)+c$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Alles klar hab ich mir schon fast gedacht, dass das nochmal die Ableitung ist. Wollte nur sicher gehen. Dankeschön
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Di 21.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dominic!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Bitte richtig lesen! Um von [mm] $\cos(x)$ [/mm] auf [mm] $\sin(x)$ [/mm] zu kommen, wurde integriert!
Denn die Ableitung von [mm] $\cos(x)$ [/mm] lautet ja [mm] $\red{-} [/mm] \ [mm] \sin(x)$ [/mm] !
Gruß
Loddar
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