permutation < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Sa 16.01.2010 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | a) Gegeben seien die Permutationen
[mm] \pi_{1} [/mm] = (1 2 3 4 5 )
(3 2 5 4 1 )
und [mm] \pi_{2} [/mm] = (1,4) [mm] \circ [/mm] (4,3) [mm] \circ [/mm] (2,5,4,3). Bestimmen sie [mm] \pi_{1} \circ \pi_{2}, \pi_{2}^{-1}, sgn\pi_{2}. [/mm] Schreiben sie [mm] \pi_{2} [/mm] als Produkt elementefremder Zyklen und als Produkt von Transpositionen. Bestimmen sie [mm] \pi_{2}^{100}.
[/mm]
b) Zeigen sie,dass jedes Produkt zweier Transpositionen aus [mm] S_{n} [/mm] mit n>= 3 Produkt von Zyklen der Länge 3 ist. |
hallo,
die verknüpfungen zweier permutationen mit zwei zwilen verstehe ich, aber ich weiß nicht was ich z.b. bei (1,4) [mm] \circ [/mm] (4,3) machen muss.
und jetzt habe ich auch das gefühl,das ich das "prinzip" doch noch nicht wirklich verstanden habe.
kann mir jemand helfen?
|
|
| |
|
hallo nochmal,
in der hoffnung,dass mir jemand helfen kann.
ich habe nun einige erbenisse selbst gefunden und wollte nach der richtigkeit fragen.
[mm] \pi_{1} \circ \pi_{2}= \pmat{ 1& 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 1 & 3 & 5 & 2 }
[/mm]
[mm] \pi_{2}^{-1}= \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 4 & 1 & 2 }
[/mm]
[mm] \pi_{2}^{100}=\pi_{2}^{4}
[/mm]
[mm] \pi_{2} [/mm] als produkt elementefremder zyklen ist (1,4,3)(2,5)
[mm] \pi_{2} [/mm] als produkt von transpositionen (1,4,3) [mm] \circ [/mm] (2,5)
stimmt das soweit? und was ist [mm] sgn\pi_{2}?
[/mm]
zu teil b) hab ich noch nicht wirklich eine idee...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 19.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
das heiß einfach , dass das obige element auf das untere abgebildet wird.
also ist zB die 2 fix und die 3 wird auf die 5 abgebildet...du kannst das dann auch anders ( in transpositionen ) schreiben !
Gruß
|
|
|
| |
|
ah , ok du verstehst nicht was (1,4) heißt ???
das ist einfach die permutation, die alles fest lässt bis auf 1 und 4
das nennt man dann auch ein transposition !
der kringel ist dann einfach die hintereinander ausführung .
zur kontrolle kannst du es zurückrechnen.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 So 17.01.2010 | | Autor: | simplify |
danke erstmal,aber ich werde aus deiner antwort nicht ganz schlau.
ich weiß,dass (1,4) bedeutet [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 3 & 1 & 5} [/mm] ,aber ich weiß nicht genua was ich mir unter [mm] sgn\pi_{2} [/mm] vorstellen muss.
stimmen denn meine anderen berechnungen?
|
|
|
| |
|
Hi
achso, sorry ! Jetzt die antwort:
sgn(pi) ist, falls pi eine permutation ist, das vorzeichen dieser.
das ist wie folgt definiert:
man zeigt , dass sich jede permutation als produkt von transpositionen darstellen lässt. diese darstellung ist i.A. nicht eindeutig, jedoch ob man eine gerade oder eine ungerade anzahl von transpositionen benutzen muss.
wenn man eine gerade anzahl hat , so ist sgn=1 sonst -1.
man kann das ganze auch elementarer über fehlstände definieren (so macht es fischer in seinem LA-buch ). dabei ist ein fehlstand ein tupel (i,j)
sodass i<j aber pi(i)>pi(j) !!
Schau mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Signum_(Mathematik)
Gruß
|
|
|
| |
|
hallo,
ich hab da nochmal eine frage zum aufgabenteil b).und zwar kann ich ja eine fallunterscheidung machen:
1. (x,y)(y,z)
2. (x,y)(z,y)
3. (x,y)(z,w)
das reicht doch,oder?damit wären ja alle fälle abgedeckt.
jetzt hab ich irgendwo gefunden,dass [mm] (x,y)(z,y)=(x,y,z)^{3}
[/mm]
was ich nicht ganz verstehe.
kann mir das vielleicht jemand erklären?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 28.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
