phi-zyklisch, wenn minp=charp < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei V ein [mm] \IK-Vektorraum [/mm] und sei [mm] \varphi: [/mm] V [mm] \to [/mm] V linear mit Minimalpolynom [mm] \mu_{\varphi} [/mm] und charakteristischem Polynom [mm] \chi_{\varphi} [/mm] derart, dass [mm] \mu_{\varphi}=\chi_{\varphi}
[/mm]
Zeigen Sie, dass V [mm] \varphi-zyklisch [/mm] ist, dh.:
[mm] \exists v_{0}\in [/mm] V: [mm] B:=\{v_{0},\varphi(v_{0},...\varphi^{dim(V)-1}(v_{0})\} [/mm] ist eine Basis von V. |
Heyho
Ich hab mir gedacht, da könnte man vielleicht irgendwie einen Widerspruch konstruieren...
Aber das krieg ich leider nicht so ganz hin.
Ang.:
[mm] \forall v\in [/mm] V: [mm] \varphi^{k}(v); k\in\{0,...,dim(V)-1\} [/mm] linear abhängig
Dann existiert eine nichttriviale Darstellung der Null:
[mm] \summe_{k=0}^{dim(V)-1}\alpha_{k}*\varphi^{k}(v)=0 [/mm] mit [mm] \alpha_{k}\not=0
[/mm]
Das Problem ist, dass die Koeffizienten vom Vektor abhängen. Wenn dem nicht so wäre, hätte man ein Polynom kleineres Grades als [mm] \mu_{\varphi}, [/mm] das ausgewertet an [mm] \varphi [/mm] bereits die Nullabbildungwäre, was ein Widerspruch wäre.
Krieg ich so ein Polynom nicht hin unter der Annahme? Oder kann man doch irgendwie zeigen, dass Koeffizienten existieren, sodass da immer 0 rauskommt?
Wie könnte man es denn anderes beweisen, wenn es so nicht möglich ist?
Grüße
icarus89
|
|
| |
|
> Sei V ein [mm]\IK-Vektorraum[/mm] und sei [mm]\varphi:[/mm] V [mm]\to[/mm] V linear
> mit Minimalpolynom [mm]\mu_{\varphi}[/mm] und charakteristischem
> Polynom [mm]\chi_{\varphi}[/mm] derart, dass
> [mm]\mu_{\varphi}=\chi_{\varphi}[/mm]
> Zeigen Sie, dass V [mm]\varphi-zyklisch[/mm] ist, dh.:
> [mm]\exists v_{0}\in[/mm] V:
> [mm]B:=\{v_{0},\varphi(v_{0},...\varphi^{dim(V)-1}(v_{0})\}[/mm] ist
> eine Basis von V.
> Heyho
>
> Ich hab mir gedacht, da könnte man vielleicht irgendwie
> einen Widerspruch konstruieren...
> Aber das krieg ich leider nicht so ganz hin.
>
> Ang.:
> [mm]\forall v\in[/mm] V: [mm]\varphi^{k}(v); k\in\{0,...,dim(V)-1\}[/mm]
> linear abhängig
> Dann existiert eine nichttriviale Darstellung der Null:
> [mm]\summe_{k=0}^{dim(V)-1}\alpha_{k}*\varphi^{k}(v)=0[/mm] mit
> [mm]\alpha_{k}\not=0[/mm]
> Das Problem ist, dass die Koeffizienten vom Vektor
> abhängen. Wenn dem nicht so wäre, hätte man ein Polynom
> kleineres Grades als [mm]\mu_{\varphi},[/mm] das ausgewertet an
> [mm]\varphi[/mm] bereits die Nullabbildungwäre, was ein Widerspruch
> wäre.
Hallo,
das ist doch gut überlegt.
EDIT: ich hab' leider nicht gut überlegt. Dank an SEcki für den Hinweis.
Die folgende
> Du hast also
> [mm]\summe_{k=0}^{dim(V)-1}\alpha_{k}*\varphi^{k}(v)=0[/mm] mit [mm]\alpha_{k}\not=0[/mm].
Also teilt das Minimalpolynom [mm] \mu [/mm] das Polynom [mm] p=\summe_{k=0}^{dim(V)-1}\alpha_{k}*x^k.
[/mm]
Also ist grad [mm] \mu \le [/mm] n-1.
Wir wissen daß [mm] \mu=\Chi, [/mm] und da ist Dein Widerspruch.
Also kann keiner der Koeffizienten [mm] a_i [/mm] von 0 verschieden sein.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:08 Sa 22.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> > [mm]\summe_{k=0}^{dim(V)-1}\alpha_{k}*\varphi^{k}(v)=0[/mm] mit
> > [mm]\alpha_{k}\not=0[/mm]
Nein, nur nicht alle 0 - amche dürfen es schon sein.
> > Das Problem ist, dass die Koeffizienten vom Vektor
> > abhängen.
Genau!
> Also teilt das Minimalpolynom [mm]\mu[/mm] das Polynom
> [mm]p=\summe_{k=0}^{dim(V)-1}\alpha_{k}*x^k.[/mm]
Eben nicht. Die Gleichung gilt erstmal nur für einzelne vs, nicht für alle! Das ist das Problem.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Sa 22.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich hab mir gedacht, da könnte man vielleicht irgendwie
> einen Widerspruch konstruieren...
Was habt ihr denn alles bisher gemacht? Die Aussage folgt tatsächlich aus dem Satz über die allgemeine Normalform - aber ich nehme an, ihr sollt es direkter zeigen, oder?
Falls die Matrix in Jordannormalform ist, kann man es wohl auch leicht konstruieren.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Sa 22.05.2010 | | Autor: | icarus89 |
> Was habt ihr denn alles bisher gemacht? Die Aussage folgt
> tatsächlich aus dem Satz über die allgemeine Normalform -
> aber ich nehme an, ihr sollt es direkter zeigen, oder?
>
> Falls die Matrix in Jordannormalform ist, kann man es wohl
> auch leicht konstruieren.
Was ist denn die allgemeine Normalform? Jedenfalls hatten wir die Jordansche Normalform noch nicht, kann aber nicht mehr lange dauern. xD
Wir hatten bis jetzt, dass jeder Endomorphismus durch eine Blockmatrix mit Begleitmatrizen zu Minimalpolynomen, die Elementarteiler sind, als Blöcke. So eine Matrix heißt wohl Frobeniusnormalform...
Meinst du das mit allgemeiner Normalform?
Kann mir die bei der Aufgabe helfen? Mmmh?
Die Frobeniusnormalform hat das Produkt der Block-Minimalpolynome als charakteristisches Polynom und den kgV als Minimalpolynom. Da Minimalpolynom und charakteristisches Polynom übereinstimmen, sind also die Block-Minimalpolynome teilferfremd. Kann ich daraus irgendwie folgern, dass V [mm] \varphi-zyklisch [/mm] ist? Irgendwie zeigen, dass die Frobeniusnormalform zu einer Begleitmatrix konjugiert ist? Möglicherweise angeben, wie die Konjugationsmatrix aussieht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:20 Fr 28.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
