pivotspalten, ker und anderes < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Fr 16.05.2008 | | Autor: | n8Mare |
| Aufgabe | gegeben seien A [mm] \in \IR^{3x3} [/mm] und y [mm] \in \IR^{3x3} [/mm] mit
A = [mm] \pmat{ 3 & -6 & 9 \\ -2 & 4 & 2 \\ 4 & -8 & 3 } [/mm] , y = [mm] \pmat{ -33 \\ -10 \\ -8 } [/mm] .
3.1
berechnen sie die Treppennormalform der erweiterten matrix (A,y) mit dem Verfahren von Gauß-Jordan.
3.2
Bestimmen Sie die Pivotspalten a(i1) , .... , a(ir) von A.
Die Pivotspalten bilden eine Basis A = {a(i1),....,a(ir)} von im(A).
Bestimmen Sie r = rg(A).
3.3
Zeigen Sie, dass y [mm] \in [/mm] im(A) gilt. Berechnen Sie den Koordinatenvektor y(A) [mm] \in \IR^r [/mm] von y bezueglich A.
3.4
Berechnen Sie eine Basis von ker(A). |
also:
bei 3.1 glaube ich zu wissen was zu tun ist:
3 -6 9 -33
-2 4 2 -10
4 -8 3 -8
______________
1 -2 3 -11
0 0 8 -32
0 0 -9 36
______________
1 -2 0 1
0 0 1 -4
0 0 0 0
das ist denke ich soweit richtig.
3.2,3,4
hier verstehe ich nichtmal die abkuerzungen, also im(A), ker(A) oder rg(A) und was es mit den Pivotspalten auf sich hat weiß ich leider auch nicht.
vieleicht koennt ihr mir den einen oder anderen tip geben wo ich ansetzen sollte.
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Hey!!
> gegeben seien A [mm]\in \IR^{3x3}[/mm] und y [mm]\in \IR^{3x3}[/mm] mit
>
Nun y ist wohl nicht aus [mm] 3\times3. [/mm] 
> A = [mm]\pmat{ 3 & -6 & 9 \\ -2 & 4 & 2 \\ 4 & -8 & 3 }[/mm] , y =
> [mm]\pmat{ -33 \\ -10 \\ -8 }[/mm] .
>
> 3.1
> berechnen sie die Treppennormalform der erweiterten matrix
> (A,y) mit dem Verfahren von Gauß-Jordan.
>
> 3.2
> Bestimmen Sie die Pivotspalten a(i1) , .... , a(ir) von
> A.
> Die Pivotspalten bilden eine Basis A = {a(i1),....,a(ir)}
> von im(A).
> Bestimmen Sie r = rg(A).
>
> 3.3
> Zeigen Sie, dass y [mm]\in[/mm] im(A) gilt. Berechnen Sie den
> Koordinatenvektor y(A) [mm]\in \IR^r[/mm] von y bezueglich A.
>
> 3.4
> Berechnen Sie eine Basis von ker(A).
> also:
> bei 3.1 glaube ich zu wissen was zu tun ist:
> 3 -6 9 -33
> -2 4 2 -10
> 4 -8 3 -8
> ______________
>
> 1 -2 3 -11
> 0 0 8 -32
> 0 0 -9 36
> ______________
> 1 -2 0 1
> 0 0 1 -4
> 0 0 0 0
>
> das ist denke ich soweit richtig.
>
Jup, das sieht soweit ganz gut aus! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 3.2,3,4
> hier verstehe ich nichtmal die abkuerzungen, also im(A),
> ker(A) oder rg(A) und was es mit den Pivotspalten auf sich
> hat weiß ich leider auch nicht.
>
So schwer sind die Abkürzungen wohl nicht.
Im(A)=Image(A)=Bild(A)
ker(A)=Kern(A)
rg(A)=Rang(A)
Das Bild von A ist der Raum, in dem die Bilder von A sind. Da du die Matrix A schon auf Zeilenstufenform gebracht hast, kannst du das Bild sehr leicht bestimmen. Es sind genau die Spalten der ursprünglichen Matrix A die zu den Spalten mit Pivotelement 1 korrespondieren. Das hört sich jetzt erstmal kompliziert an, ist aber ganz einfach. Bei deiner Zeilenstufenform steht genau an der 1. und 3. Spalte eine 1 vorne, somit ist der Span der 1. und 3. Spalte der Matrix A dein Bild von A.
Mit Kern A bezeichnet man die Vektoren, die durch die Abbildung auf 0 abgebildet werden. Löse dazu das Gleichungssystem Ax=0. x ist dann dein Kern.
Den Rang einer Matrix kann man auch an der Zeilenstufenform einfach erkennen. Es ist die Anzahl der Zeilen, die nicht 0 sind.
Kommst du jetzt erstmal weiter.
Wenn du mit den Begriffen gar nichts anfangen kannst, solltest du dir vielleicht auch nochmal intensiv dein Skrip durchlesen oder mal bei Wikipedia schauen.
> vieleicht koennt ihr mir den einen oder anderen tip geben
> wo ich ansetzen sollte.
>
>
Grüße Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Fr 16.05.2008 | | Autor: | n8Mare |
hmm mit dem y zugehörigen raum hast du natuerlich recht
so was schleicht sich irgend wie doch recht häufig ein :P
das mit den pivotspalten sieht tatsächlich relativ easy aus
danke für die einfachen worte
zu 3.3
der rang der matrix A muesste ja der gleiche sein wie der der erweiterten matrix (Ay) richtig? also rg(A) = rg(Ay) = 2 ?
wie aber soll ich zeigen das y im bild von A vorkommt?
oder soll ich einfach da wo die zeilen von A einen Wert haben y ablesen?
also: [mm] \pmat{ 1 \\ -4 } [/mm] weil r = 2
hab ich das richtig verstanden?
an den kern setz ich mich jetzt mal ran
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> zu 3.3
> der rang der matrix A muesste ja der gleiche sein wie der
> der erweiterten matrix (Ay) richtig? also rg(A) = rg(Ay) =
> 2 ?
Hallo,
ja, so ist es.
>
> wie aber soll ich zeigen das y im bild von A vorkommt?
Das zeigst Du entweder, indem Du eine Lösung x des Gleichungssystems angibst. (x ist eine Spalte mit drei Einträgen)
Falls Ihr den Zusammenhang zwischen Matrixrang und Existenz v. Lösungen ereits hattet, kannst Du auch einfach einen Grund dafür angeben, daß das System eine Lösung hat.
Falls Du die Basis des Bildes bereits vorliegen hast, kannst Du auch zeigen, wie y als Linearkombination der Basiselemente darzustellen ist.
> oder soll ich einfach da wo die zeilen von A einen Wert
> haben y ablesen?
y kennen wir doch schon!
Eine Lösung x kannst Du ablesen.
>
> also: [mm]\pmat{ 1 \\ -4 }[/mm] weil r = 2
> hab ich das richtig verstanden?
Ich verstehe nicht, was Du damit meinst.
Gruß v. Angela
>
> an den kern setz ich mich jetzt mal ran
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Fr 16.05.2008 | | Autor: | n8Mare |
hmm
3 -6 9
-2 4 2
4 -8 3
_________
1 -2 3 / :3
-1 2 1 / :2
4 -8 3
_________
1 -2 3
0 0 1 / + Z1 / :1
0 0 1 / - 4(Z1) / :9
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] 2x_{2} -3x_{3} [/mm]
[mm] 2x_{2} [/mm] = [mm] -x_{1} -3x_{3}
[/mm]
[mm] 3x_{3} [/mm] = [mm] -x_{1}+2x_{2}
[/mm]
-> [mm] \pmat{ 2x_{2} -3x_{3} \\ -\bruch{1}{2} x_{1} -\bruch{3}{2} x_{3} \\ -\bruch{1}{3} x_{1} -\bruch{2}{3}x_{2}
}
[/mm]
stimmt das so?
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> hmm
> 3 -6 9
> -2 4 2
> 4 -8 3
> _________
> 1 -2 3 / :3
> -1 2 1 / :2
> 4 -8 3
> _________
> 1 -2 3
> 0 0 1 / + Z1 / :1
> 0 0 1 / - 4(Z1) / :9
>
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]2x_{2} -3x_{3}[/mm]
> [mm]2x_{2}[/mm] = [mm]-x_{1} -3x_{3}[/mm]
> [mm]3x_{3}[/mm] = [mm]-x_{1}+2x_{2}[/mm]
>
> -> [mm]\pmat{ 2x_{2} -3x_{3} \\ -\bruch{1}{2} x_{1} -\bruch{3}{2} x_{3} \\ -\bruch{1}{3} x_{1} -\bruch{2}{3}x_{2}
}[/mm]
>
> stimmt das so?
>
Hallo,
was hast Du Dir da bloß zurecht gewurschtelt?
Die Zeilenstufenform hattest Du doch längst:
1 -2 0
0 0 1
0 0 0
Da der Rang=2 ist, ist die Dim des kerns= ???.
Das GS zur ZSF ist
[mm] x_1-2x_2=0
[/mm]
[mm] x_3=0
[/mm]
Wie lautet die Lösungsmenge?
Gruß v. Angela
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