pnktw. & glmß. Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Sa 09.01.2010 | | Autor: | jxn |
| Aufgabe | Man betrachte die Funktionenfolge [mm] f_n: \IR \rightarrow \IR, n\in\IN^* [/mm] , die wie folgt definiert ist:
[mm] f_n(x)=\left\{\begin{matrix} 0, & x<\bruch{1}{n+1} \\ sin^2 ( \bruch{\pi}{x} ), & \bruch{1}{n+1} \le x \le \bruch{1}{n} \\ 0, & \bruch{1}{n} < x \end{matrix}\right.
[/mm]
(a) Kovergiert die Folge [mm] f_n [/mm] punktweise auf [mm] \IR?
[/mm]
(b) Kovergiert die Folge [mm] f_n [/mm] gleichmäßig auf [mm] \IR?
[/mm]
(c) Konvergiert die Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) [/mm] für alle [mm] x\in\IR?
[/mm]
(d) Konvergiert die Folge der Partialsummen [mm] S_k [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^{k} f_n [/mm] gleichmäßig auf [mm] \IR? [/mm] |
Hallo zusammen,
die Defintionen von punktweiser und gleichzeitiger Konvergenz, nämlich:
$ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in D_f :\forall \epsilon>0 :\exists N\in\IN: \forall [/mm] n [mm] \ge N:\left|f_n\left(x\right) - f\left(x\right)\right| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] $
bzw.
$ [mm] \forall \epsilon>0:\exists N\in\IN: \forall [/mm] x [mm] \in D_f: \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N [mm] :\left|f_n\left(x\right) - f\left(x\right)\right| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] $
sind soweit bekannt. Der Unterschied auch.
Mein Problem ist, dass ich beim Bestimmen der Grenzfunktion
[mm] f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=\left\{\begin{matrix} 0, & x<0 \\ sin^2 ( \bruch{\pi}{x} ), & 0 \le x \le 0 \\ 0, & 0< x \end{matrix}\right.
[/mm]
erhalte, womit f(x) an der Stelle 0 nicht definiert wäre und ich nun nicht weiß, wie ich damit im Bezug auf (a) und (b) umzugehen habe.
Denn würde man [mm] f_n [/mm] nur noch auf [mm] \IR [/mm] ohne Null betrachten, so wäre ja die Grenzfunktion konstant 0 und es würde genügen [mm] \epsilon [/mm] etwas größer als 1 zu wählen, da sin auf [0,1] abbildet. So erscheint mir die Aufgabe aber etwas einfach.
Vorab, vielen Dank für jede Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Sa 09.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man betrachte die Funktionenfolge [mm]f_n: \IR \rightarrow \IR, n\in\IN^*[/mm]
> , die wie folgt definiert ist:
> [mm]f_n(x)=\left\{\begin{matrix} 0, & x<\bruch{1}{n+1} \\ sin^2 ( \bruch{\pi}{x} ), & \bruch{1}{n+1} \le x \le \bruch{1}{n} \\ 0, & \bruch{1}{n} < x \end{matrix}\right.[/mm]
>
> (a) Kovergiert die Folge [mm]f_n[/mm] punktweise auf [mm]\IR?[/mm]
> (b) Kovergiert die Folge [mm]f_n[/mm] gleichmäßig auf [mm]\IR?[/mm]
> (c) Konvergiert die Reihe [mm]\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)[/mm] für
> alle [mm]x\in\IR?[/mm]
> (d) Konvergiert die Folge der Partialsummen [mm]S_k[/mm] =
> [mm]\sum_{n=1}^{k} f_n[/mm] gleichmäßig auf [mm]\IR?[/mm]
> Hallo zusammen,
> die Defintionen von punktweiser und gleichzeitiger
> Konvergenz, nämlich:
> [mm]\forall x \in D_f :\forall \epsilon>0 :\exists N\in\IN: \forall n \ge N:\left|f_n\left(x\right) - f\left(x\right)\right| < \epsilon[/mm]
>
> bzw.
> [mm]\forall \epsilon>0:\exists N\in\IN: \forall x \in D_f: \forall n \ge N :\left|f_n\left(x\right) - f\left(x\right)\right| < \epsilon[/mm]
>
> sind soweit bekannt. Der Unterschied auch.
>
> Mein Problem ist, dass ich beim Bestimmen der
> Grenzfunktion
> [mm]f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=\left\{\begin{matrix} 0, & x<0 \\ sin^2 ( \bruch{\pi}{x} ), & 0 \le x \le 0 \\ 0, & 0< x \end{matrix}\right.[/mm]
>
> erhalte, womit f(x) an der Stelle 0 nicht definiert wäre
Deine Grenzfunktion ist falsch. Du behandelst die drei Fälle getrennt und übersiehst dabei, dass sich die Grenzen [mm] $\bruch{1}{n+1}$ [/mm] und [mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm] bei Änderung von $n$ und damit nicht unabhängig vom Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] sind.
Zunächst einmal geht die Ungleichung [mm] $x<\bruch{1}{n+1} [/mm] $ im Grenzfall in [mm] $x\le [/mm] 0$ über. Da die anderen beiden Fälle [mm] $\bruch{1}{n+1} \le [/mm] x [mm] \le \bruch{1}{n}$ [/mm] und [mm] $\bruch{1}{n} [/mm] < x$ nur für $x>0$ relevant sind, kannst du schon einmal folgern,. dass die Grenzfunktion $f(x)=0$ für [mm] $x\le [/mm] 0$. Ebenso ergibt sich sofort, dass $f(x)=0$ für [mm] $x\ge [/mm] 1$.
Für $0<x<1$ nimmst du dir irgendeinen Wert x und überlegst dir, für welche Werte von $n $ die Funktionen [mm] $f_n(x)$ [/mm] überhaupt ungleich 0 sind. Sind es nur endlich viele, so ist die Grenzwert $f(x)$ automatisch 0.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 So 10.01.2010 | | Autor: | jxn |
> Für [mm]0
> dir, für welche Werte von [mm]n[/mm] die Funktionen [mm]f_n(x)[/mm]
> überhaupt ungleich 0 sind. Sind es nur endlich viele, so
> ist die Grenzwert [mm]f(x)[/mm] automatisch 0.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Die Sinusfunktion nimmt doch dann den Wert 0 an, wenn im Argument ganzzahlige Vielfache von [mm] \pi [/mm] stehen, korrekt?
Wenn x also rational ist, wäre [mm] sin^2 [/mm] ( [mm] \bruch{\pi}{x} [/mm] ) = 0,
ist x irrational, dann ist [mm] sin^2 [/mm] ( [mm] \bruch{\pi}{x} [/mm] ) ungleich 0.
Folglich ist [mm] f_n [/mm] für unendlich viele Werte ungleich 0.
Zum Überprüfen auf Konvergenz muss ich mir ein [mm] \epsilon [/mm] so vorgeben, dass [mm] |f_n(x)-f(x)| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] ist. Genügt es hier, [mm] \epsilon [/mm] = 1,5 zu wählen, da sowohl [mm] f_n(x) [/mm] als auch f(x) nur Werte von 0 bis 1 annehmen, und ihre Differenz niemals größer als 1 ist? Da [mm] \epsilon [/mm] so von x unabhängig ist, wäre die Funktion sowohl punktweise als auch gleichmäßig konvergent.
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Hiho,
> Zum Überprüfen auf Konvergenz muss ich mir ein [mm]\epsilon[/mm]
> so vorgeben, dass [mm]|f_n(x)-f(x)|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] ist.
du hast hier einen ziemlich schweren Denkfehler drin.
Konvergenz heisst IMMER, dass die Ungleichung für ALLE [mm] \varepsilon [/mm] ab einem bestimmten n gilt, also auch für [mm] $\varepsilon [/mm] = 0.1$ bspw.
Gleichmäßige Konvergenz liegt nun vor, wenn die Wahl von n NUR von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt und NICHT von der Stelle x.
Normale Konvergenz ist klar (überlege dir, warum du zu jedem x ein n finden kannst, so dass [mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| = 0 < [mm] \varepsilon$).
[/mm]
Dass gleichmäßige Konvergenz nicht gilt ebenso (Überlege dir, dass es zu [mm] $\varepsilon [/mm] = 0.1$ und zu beliebigem [mm] n_0 [/mm] immer ein [mm] $n\ge n_0$ [/mm] und ein x gibt, so dass [mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| = 1 > [mm] \varepsilon$).
[/mm]
Was bringt dir das?
MFG,
Gono.
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