positiv Definitheit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Sa 15.12.2007 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Sei [mm] (V,+,\IR, [/mm] .) ein Vektorraum und [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_V [/mm] eine Seminorm auf V dergestalt, dass [mm] \parallel v\parallel_V\not=0 [/mm] für mindestens ein [mm] v\inV [/mm] ist. Sei V`der Vektorraum der linearen Abbildungen [mm] T:V->\IR, [/mm] für die es ein [mm] M_T>0 [/mm] gibt mit [mm] IT_VI\le M_T \parallel v\parallel_V [/mm] für alle v [mm] \in [/mm] V. Ist [mm] \parallel.\parallel_V`=sup [/mm] [ITvI;v [mm] \in [/mm] V mit [mm] \parallel v\parallel_V=1] [/mm] eine Seminorm oder sogar eine Norm auf V`? |
Eine Seminorm ist das ja offensichtlich. Bezüglich der Frage, ob es sich um eine Norm handelt würde ich ja dagen, kann das aber leider nicht richtig begründen. DAS Problem liegt bei der positiv Definitheit. Kann man sagen, dass jeder Vektor normiert, die NOrm 1 hat und deshalb betrachtet wird?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Sa 15.12.2007 | | Autor: | Chlors |
Hallo :)
ja, es ist eine norm.
wenn du dir einen vektor v wählst dessen norm nicht null ist, kannst du
(v/ ||v||)=w setzen => ||w|| =1 , darauf T anwenden und da T linear ist kannst du (1/||v||) herausziehen .. ich hoffe das hilft dir weiter.
kleiner tipp: ich hab zuerst übersehen, dass ||v|| eine seminorm ist, dh es könnte auch vektoren v ungleich null geben deren norm aber null ist. das lässt sich aber einfach durch die angegebene bedingung in der aufgabe abhandeln (falls dir das nicht schon selbst aufgefallen ist :) )
hast du aufgabe 4 schon lösen können ? wäre dankbar für einen kleinen tipp ;)
LG, Conny.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 So 16.12.2007 | | Autor: | verkackt |
Hi Conny,
Kannst du mir erklären, wie man die angegebene Bedingung der Aufgabe benutzen kann.Ich bekomme immer ein Widerspruch, wenn ich deine Erklärung anwende, denn:
sup [mm] |Tw|=\bruch{1}{\parallel v \parallel} [/mm] sup |Tv|
wobei [mm] \parallel w\parallel [/mm] =1 und [mm] \bruch{v}{\parallel v \parallel}=w
[/mm]
Es gilt aber [mm] auch:|Tv|\le M_{t} \parallel [/mm] v [mm] \parallel [/mm] und [mm] |Tw|\le M_{t} \parallel [/mm] w [mm] \parallel =M_{t} \Rightarrow [/mm] sup |Tw|= [mm] M_{t} [/mm] und da [mm] M_{t}>0 [/mm] ist wird sup |Tw| nie =0 auch wenn T=0 ist.Und damit ist dies keine Norm.
Ich bitte um Hilfe.
Danke, Lg. V.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Chlors |
Hallo :)
vermutlich kommt meine antwort zu spät. ich verstehe nicht so recht, wie du schließt, dass das sup [mm] |Tw|=M_t [/mm] sein muss. Es könnte doch auch kleiner sein. Oder ich übersehe gerade etwas, was bei der Uhrzeit auch kein Wunder wäre ;)
LG, Conny.
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