positive Definitheit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 Di 05.06.2012 | | Autor: | GillesvR |
| Aufgabe | | Finden Sie zwei positiv (semi)definite Matrizen A und B für die A-B positiv (semi)definit ist, aber [mm] A^{2} [/mm] - [mm] B^{2} [/mm] nicht positiv (semi)definit ist. |
Ich habe jetzt das ganze mal mit ein paar Matrizen ausprobiert, aber ich habe die gewünschten Bedingungen nie hinbekommen.
Gibt es da vielleicht irgendeinen Trick, wie man solche Matrizen findet oder muss man so lange probieren, bis man Matrizen gefunden hat, die passen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hiho,
ich würde mir immer erstmal überlegen, wo es denn "kaputt" gehen könnte.
Nehmen wir der Einfachheit halber mal an, dass A und B kommutieren (uns reicht ja ein Gegenbeispiel), dann gilt ja:
[mm] $(A^2 [/mm] - [mm] B^2) [/mm] = (A+B)(A-B)$ und wir wissen bereits, dass A+B und A-B positiv semidefinit sind.
Also stellt sich die Frage, ob ein Produkt die positive Semidefinitheit erhält.
Natürlich tut es das im Normalfall nicht.....
Der Rest war Ausprobieren und Recherche, bei der man über das ein oder andere Beispiel sieht.... auch für deine Aufgabe 
Tip: Eine von beiden ist [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Di 05.06.2012 | | Autor: | GillesvR |
Danke für deine Hinweise.
Leider haben wir positiv definit nur für symmetrische (bzw. hermitesche) Matizen definiert, d.h. die von dir genannte Matrix kann nicht verwendet werden.
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