positive Nullstelle < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Mo 20.12.2004 | | Autor: | ThomasK |
Hi
Ich hab hier das Polynom p(x):= [mm] a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}.
[/mm]
[mm] a_{1},...,a_{n} \in \IR [/mm] . [mm] a_{n} [/mm] > 0 und [mm] a_{0} [/mm] < 0.
Um auszurechnen ob der Polynom eine positive Nullstelle hat, muss ich doch als erstes gucken ob das Polynom stetig ist.
und wenn ich dann noch zeig das der einmal der x wert kleiner als null ist und einmal größer als null ist, hat die funktion eine Positive Nullstelle, oder?
Also erstmal wird ja nur nach ner Positiven Nullstelle gesucht, das heißt im Intervall von [0, +oo] (0 bis + unendlich)
[mm] x_{0} \in [/mm] [0, +oo]
|f(x) - [mm] f(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] und |x - [mm] x_{0}| [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
hier komm ich irgendwie nicht weiter, ich weiß nicht wie man das da einsetzen soll und zu gucken ob das stimmt, oder stimmt der ansatz nicht?
mfg
Thomas
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Hi Thomas,
Jedes Polynom stetig. Glücklicherweise hast Du [mm]a_{0}<0[/mm] gegeben. Überleg Dir mal, was das für [mm]p(0)[/mm] bedeutet! Entsprechend läßt sich aus [mm]a_{n}>0[/mm] etwas über [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}p(x)[/mm] ableiten. Jetzt noch den Zwischenwertsatz (wahlweise auch schlichte Anschauung) dazu - et voilá!
Hoffentlich habe ich nicht zu sehr in Rätseln geschrieben...
Gruß, Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Di 21.12.2004 | | Autor: | ThomasK |
Danke für euere Antworten.
Muss man noch die Stetigkeit beweisen oder wird das akzeptiert, wenn man sagt alle Polynome sind Stetik?
Also sieht das nun so aus:
p(0) < 0, da [mm] a_{0} [/mm] < 0
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}p(x) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Der Zwischenwertsatz besagt dann, dass das Polynom eine positive Nullstelle im Intervall [0, [mm] \infty] [/mm] hat. Darf man schreiben [0, [mm] \infty] [/mm] oder nicht?
Damit wurde gezeigt, dass das Polynom eine nullstelle hat?
mfg
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Thomas!
> Muss man noch die Stetigkeit beweisen oder wird das
> akzeptiert, wenn man sagt alle Polynome sind Stetik?
Wenn ihr besprochen habt, dass Potenzfunktionen $x [mm] \mapsto x^n$ [/mm] stetig sind sowie die Summe stetiger Funktionen (und skalare Vielfache stetiger Funktionen), dann kannst du das voraussetzen.
> Also sieht das nun so aus:
>
> p(0) < 0, da [mm]a_{0}[/mm] < 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}p(x)[/mm] = [mm]\infty
[/mm]
Das sollte man vielleicht noch begründen (indem man [mm] $a_nx^n$ [/mm] ausklammert und mit [mm] $a_n>0$ [/mm] argumentiert).
> Der Zwischenwertsatz besagt dann, dass das Polynom eine
> positive Nullstelle im Intervall [0, [mm]\infty][/mm] hat. Darf man
> schreiben [0, [mm]\infty][/mm] oder nicht?
Ich würde es anders aufschreiben: Aus [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}p(x)= +\infty[/mm] folgt die Existenz eines $b [mm] \in [0,+\infty)$ [/mm] mit $p(b)>0$. Der Zwischensatz, angewendet auf das Intervall $[0,b]$, besagt nun, dass $p$ eine Nullstelle in $(0,b)$ hat und somit eine positive Nullstelle besitzt.
Viele Grüße
Julius
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