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| Aufgabe | Aufgabe:
a) In dieser Teilaufgabe wollen wir üben, mit prädikatenlogischen Formeln mathematische
Objekte zu definieren. Wir benutzen dazu die Teilbarkeitsrelation / auf der Menge der
positiven ganzen Zahlen N (x / y bedeutet x teilbar durch y). Die Grundmenge aller Zahlen-
Variablen sei hierbei N, die Grundmenge aller Mengen-Variablen sei die Menge aller
Teilmengen von N.
Beispiel: Die Menge G der geraden Zahlen ist definiert durch G := { x | x / 2 } (Man liest: die
Menge aller x mit der Eigenschaft dass x / 2 gilt)
Ergänzen Sie:
- Die Menge P der
ist definiert durch P := { x | ∀y( (x / y) ⇒ ((y = 1) ∨ (y = x)) )}
- Die Menge Q der Quadratzahlen ist definiert durch Q := { x |
}.
- Die Menge B aller
Teilmengen ist definiert durch B := { A | ∃x(∀y( (y ∈ A) ⇒ (y ≤ x) ) )}
b) Formulieren Sie die folgenden natürlich-sprachlichen Aussagen als prädikatenlogische
Formeln. Sei dazu R eine beliebige binäre Relation auf N.
Beispiel: Für jedes x gibt es ein y mit (y,x) ∈ R ∀x(∃y( (y,x) ∈ R ) )
- Für jede positive ganze Zahl x gibt es eine größere ganze Zahl y, die nur durch sich selbst
und durch 1 teilbar ist.
- Für alle x und y ist x² + y² eine Quadratzahl.
- Es gibt kein y, so dass es zwei verschiedene x und z gibt mit (x,y) ∈ R und (z,y) ∈ R. |
Hallo zusammen,
irgendwie komm ich mit dieser Aufgabe nicht zu recht. Bis jetzt hab ich nur:
a) ii) Q:={x|x*x}
b) i) ∀x(∃y(y>x [mm] \wedge [/mm] y ist eine Primzahl [mm] \wedge [/mm] (x,y)>0 [mm] \wedge [/mm] (x,y) ∈ N)
Aber mehr hab ich leider noch nicht!!
Bitte helft mir.
Schonmal danke.
Gruß Tobias
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:49 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Aufgabe:
> a) In dieser Teilaufgabe wollen wir üben, mit
> prädikatenlogischen Formeln mathematische
> Objekte zu definieren. Wir benutzen dazu die
> Teilbarkeitsrelation / auf der Menge der
> positiven ganzen Zahlen N (x / y bedeutet x teilbar durch
> y). Die Grundmenge aller Zahlen-
> Variablen sei hierbei N, die Grundmenge aller
> Mengen-Variablen sei die Menge aller
> Teilmengen von N.
> Beispiel: Die Menge G der geraden Zahlen ist definiert
> durch G := { x | x / 2 } (Man liest: die
> Menge aller x mit der Eigenschaft dass x / 2 gilt)
> Ergänzen Sie:
> - Die Menge P der
ist definiert durch P := { x |
> ∀y( (x / y) ⇒ ((y = 1) ∨ (y = x)) )}
du musst das stückchenweise von vorne nach hinten zerlegen. Die Erklärungen stehen ja oben.
P:={x|
beinhaltet die Menge der Zahlen [mm] x\in\IN [/mm] für die gilt...
∀y( (x / y)
für [mm] \text{alle} [/mm] y mit x ist teilbar durch y (ganzzahlig natürlich, denn wir sind ja in [mm] \IN)
[/mm]
⇒ ((y = 1) ∨ (y = x))
sofern y=1 ist oder y=x <--- welche Zahlen sind denn nur durch 1 oder sich selbst teilbar?
die anderen analog 
Liebe Grüße
Herby
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Bei i) sind es ja somit die Primzahlen oder???
Bei ii) hät ich dann Q:={x|∀x(x*x)} geschrieben.
Und bei iii) ist des doch: Es gibt ein x für alle y mit y ist Element von A sofern y kleiner gleich x ist, oder?? Was soll das dann sein?? Ich komm nicht drauf. Welche Teilmengen sind damit beschrieben?
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Also muss ich dann in ii) folgendes schreiben oder:
Q:={x|∀y(y*y [mm] \wedge [/mm] y ∈ R)}
was ist der Unterschied zwischen einer beschränkten und geordneten Teilmenge??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Tobias,
> Also muss ich dann in ii) folgendes schreiben oder:
>
> Q:=(x|∀y(y*y [mm]\wedge[/mm] y ∈ R))
wir nähern uns
Den Quantor "für alle" zu nehmen, ist hier ein bisschen übertrieben, denn es reicht ja ein y. Versuch' dir mal vorzustellen, wie du aus allen y gleichzeitig eine einzige Quadratzahl basteln willst. Daher gibt es ein y für das y*y=x ist.
So! Und das hier vergessen wir mal ganz schnell wieder, ok.
> was ist der Unterschied zwischen einer beschränkten und
> geordneten Teilmenge??
Diese Frage hättest du gar nicht gestellt, wenn ich nicht so ein dummes! Zeug vorhin geschrieben hätte.
Natürlich sind die natürlichen Zahlen geordnet. Eins ist kleiner als zwei ist kleiner als drei ... - warum sollte man das noch einmal definieren ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") .
Ich bin mit mir übereingekommen, dass es in den ganzen Teilmengen ein x gibt, dass das größte Element in der jeweiligen Teilmenge ist und alle y, die ebenfalls in der Teilmenge rumschwirren sind entweder kleiner oder gleich x. Daher ist die Teilmenge in ihrer Größe beschränkt.
Ich hoffe, dass das stimmt. Wenn du die Musterlösung haben solltest, dann kannst du sie ja mal posten.
Liebe Grüße
Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Tobias,
> b) Formulieren Sie die folgenden natürlich-sprachlichen
> Aussagen als prädikatenlogische
> Formeln. Sei dazu R eine beliebige binäre Relation auf N.
> Beispiel: Für jedes x gibt es ein y mit (y,x) ∈ R
> ∀x(∃y( (y,x) ∈ R ) )
> - Für jede positive ganze Zahl x gibt es eine größere ganze
> Zahl y, die nur durch sich selbst
> und durch 1 teilbar ist.
> - Für alle x und y ist x² + y² eine Quadratzahl.
> - Es gibt kein y, so dass es zwei verschiedene x und z gibt
> mit (x,y) ∈ R und (z,y) ∈ R.
> Hallo zusammen,
>
> irgendwie komm ich mit dieser Aufgabe nicht zu recht. Bis
> jetzt hab ich nur:
> b) i) ∀x(∃y(y>x [mm]\wedge[/mm] y ist eine Primzahl
> [mm]\wedge[/mm] (x,y)>0 [mm]\wedge[/mm] (x,y) ∈ N)
das sieht doch schon ganz gut aus. Allerdings brauchst du den hinteren Teil nicht mehr erläutern, wenn du die Relation R verwendest.
Vorschlag:
Für alle x,y in Relation R; es gibt ein y, mit der Eigenschaft y ist größer x und y ist Element P (P wurde schon in a) definiert, brauchst du nur übernehmen)
Liebe Grüße
Herby
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Ich würd somit bei der b9 folgendes schreiben:
i) ∀x(∃y(y>x $ [mm] \wedge [/mm] $ (x,y)>0 $ [mm] \wedge [/mm] $ y ∈ P)
ii) ∀(x,y) [mm] (x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}) [/mm] Diese Bedinungung ist jedoch aber nur erfüllt falls x=y=0 ist!! Oder versteh ich die Fragenstellung falsch??
iii) [mm] \neg [/mm] ∃x (x [mm] \neg= [/mm] z [mm] \wedge [/mm] (x,y) ∈ R [mm] \wedge [/mm] (z,y) ∈ R)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Ich würd somit bei der b9 folgendes schreiben:
>
> i) ∀x(∃y(y>x [mm]\wedge[/mm] (x,y)>0 [mm]\wedge[/mm] y ∈
> P)
das deckt sich aber nicht ganz mit diesem hier: "Zitat Herby" - Für alle x,y in Relation R; es gibt ein y, mit der Eigenschaft y ist größer x und y ist Element P (P wurde schon in a) definiert, brauchst du nur übernehmen)
> ii) ∀(x,y) [mm](x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2})[/mm] Diese Bedinungung
> ist jedoch aber nur erfüllt falls x=y=0 ist!! Oder versteh
> ich die Fragenstellung falsch??
ja, verstehst du falsch - [mm] x^2+y^2=\red{z^2}
[/mm]
> iii) [mm]\neg[/mm] ∃ [mm] \red{y} [/mm] (x [mm]\not=[/mm] z [mm]\wedge[/mm] (x,y) ∈ R [mm]\wedge[/mm]
> (z,y) ∈ R)
das kann man so stehen lassen.
Liebe Grüße
Herby
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Sorry Herby,
aber ich versteh leider nicht was du meinst??
Was soll ich dann statt dessen bei der ii schreiben??
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Sorry Herby,
>
> aber ich versteh leider nicht was du meinst??
>
> Was soll ich dann statt dessen bei der ii schreiben??
für alle x,y gilt, es gibt ein z, so dass [mm] x^2+y^2=z^2 [/mm] erfüllt ist.
so long
Herby
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Oh sorry,
das hab ich schon verstanden. Ich meinte die i.
Tut mir leid.
Lg Tobi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:16 Di 09.12.2008 | | Autor: | Herby |
Guten Morgen,
> Oh sorry,
>
> das hab ich schon verstanden. Ich meinte die i.
Für alle x,y in Relation R; es gibt ein y, mit der Eigenschaft y ist größer x und y ist Element P
[mm] $x,y\in\ R\quad \exists\ [/mm] y\ [mm] (y>x\wedge\ \forall [/mm] z\ (y/z\ [mm] \Rightarrow [/mm] (z=1\ [mm] \wedge\ [/mm] z=y) ) )$
Liebe Grüße
Herby
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Vielen Danke Herby für die gute Hilfe.
Lg Tobias
PS: Sobald ich eine Musterlösung hab stell ich sie ins Netz!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:17 Di 09.12.2008 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Vielen Danke Herby für die gute Hilfe.
>
> Lg Tobias
>
> PS: Sobald ich eine Musterlösung hab stell ich sie ins
> Netz!
ob die Hilfe wirklich so gut war werden wir dann ja sehen 
Lg
Herby
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Hallo zusammen,
hier nun wie versprochen die Musterlösung zu dieser Aufgabe:
a) In dieser Teilaufgabe wollen wir üben, mit prädikatenlogischen Formeln mathematische
Objekte zu definieren. Wir benutzen dazu die Teilbarkeitsrelation / auf der Menge der
positiven ganzen Zahlen N. Die Grundmenge aller Zahlen-Variablen sei hierbei N, die
Grundmenge aller Mengen-Variablen sei die Menge aller Teilmengen von N.
Beispiel: Die Menge G der geraden Zahlen ist definiert durch G := { x | x / 2 } (Man liest: die
Menge aller x mit der Eigenschaft dass x / 2 gilt)
Ergänzen Sie:
- Die Menge P der Primzahlen ist definiert durch P := { x | ∀y( (x / y) ⇒ ((y = 1) ∨ (y = x)) )}
- Die Menge Q der Quadratzahlen ist definiert durch Q := { x | ∃y( y*y = x ) }.
- Die Menge B aller endlichen / beschränkten Teilmengen ist definiert durch B := { A |
∃x(∀y( (y ∈ A) ⇒ (y ≤ x) ) )}
b) Formulieren Sie die folgenden natürlich-sprachlichen Aussagen als prädikatenlogische
Formeln. Sei dazu R eine beliebige binäre Relation auf N.
Beispiel: Für jedes x gibt es ein y mit (y,x) ∈ R ∀x(∃y( (y,x) ∈ R ) )
- Für jede positive ganze Zahl x gibt es eine größere ganze Zahl y, die nur durch sich selbst
und durch 1 teilbar ist.
∀x( ∃y( (x<y) ∧ ( ∀z( (y / z) ⇒ ((z = 1) ∨ (z = y)) ) ) ) )
- Für alle x und y ist x² + y² eine Quadratzahl.
∀x( ∀y( ∃z( z*z = x² + y² ) ) )
- Es gibt kein y, so dass es zwei verschiedene x und z gibt mit (x,y) ∈ R und (z,y) ∈ R.
¬(∃y ( ∃x( ∃z( (x≠z) ∧ ( (x,y) ∈ R ) ∧ ( (z,y) ∈ R ) ) ) ) )
Gruß Tobias
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
- jop
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
)
