primitive Einheitswurzeln < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Di 20.11.2007 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | | Zeigen Sie für z aus der Einheitsspähre (z sei Komplex) außer {-1}, dass (1+z)/(|1+z|) aus der Einheitsspähre die beiden Wurzeln aus z sind, und dass durch [mm] z_2=i, z_{n+1}=(1+z_n)/(|1+z_n|) [/mm] primitive [mm] 2^n [/mm] te Einheitswurzeln [mm] z_n [/mm] definiert werden, dass also gilt: [mm] z^k [/mm] ungleich 1 für alle [mm] 1<=k<2^n [/mm] und [mm] z^{2n}=1. [/mm] |
Hi,
den ersten Teil der Aufgabe habe ich, dass mit den beiden Wurzeln.
Ich habe dann mal gezeigt, dass [mm] $i^{2^2})=1$ [/mm] ist, und noch mit Mühe und Not das ganze für n=3 gezeigt.
Uns wurde der Tip gegeben, das Ganze mit vollständiger Induktion und Beweis durch Widerpsruch zu zeigen.
Die INduktion brauchen wir wohl für die Einheitswurzeln, und den Widerspruch dafür, dass es primitive Einheitswurzeln sind.
Nur ich habe leider keine Ahnung, wie ich hier den beweis für alle n , also die Induktion ansetzen soll.
Wäre nett, wenn mir jemand von euch einen Ansatz geben würde.
Liebe Grüße,
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 Di 20.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kroni!
> Zeigen Sie für z aus der Einheitsspähre (z sei Komplex)
> außer {-1}, dass (1+z)/(|1+z|) aus der Einheitsspähre die
> beiden Wurzeln aus z sind, und dass durch [mm]z_2=i, z_{n+1}=(1+z_n)/(|1+z_n|)[/mm]
> primitive [mm]2^n[/mm] te Einheitswurzeln [mm]z_n[/mm] definiert werden, dass
> also gilt: [mm]z^k[/mm] ungleich 1 für alle [mm]1<=k<2^n[/mm] und [mm]z^{2n}=1.[/mm]
> Hi,
>
> den ersten Teil der Aufgabe habe ich, dass mit den beiden
> Wurzeln.
>
> Ich habe dann mal gezeigt, dass [mm]i^{(2^2)}=1[/mm] ist, und noch
> mit Mühe und Not das ganze für n=3 gezeigt.
> Uns wurde der Tip gegeben, das Ganze mit vollständiger
> Induktion und Beweis durch Widerpsruch zu zeigen.
>
> Die INduktion brauchen wir wohl für die Einheitswurzeln,
> und den Widerspruch dafür, dass es primitive
> Einheitswurzeln sind.
>
> Nur ich habe leider keine Ahnung, wie ich hier den beweis
> für alle n , also die Induktion ansetzen soll.
Alle diese [mm]z_n[/mm] haben ja den Betrag [mm]|z_n|=1[/mm], daher haben sie die Darstellung [mm]z_n=\mathrm{e}^{i\varphi_n}[/mm] für [mm]0\le\varphi<2\pi[/mm]. Wenn du das einsetzt, kannst du
[mm]1+z_n = 1 + \mathrm{e}^{i\varphi_n} = \mathrm{e}^{i\varphi_n/2} (\mathrm{e}^{-i\varphi_n/2} +\mathrm{e}^{i\varphi_n/2} )= 2\mathrm{e}^{i\varphi_n/2}\cos(\varphi_n/2)[/mm]
schreiben.
Aus [mm]z_n^{2n}=1[/mm] folgt noch eine Bedingung für [mm]\varphi_n[/mm].
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Di 20.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nun ja, das scheint mir korrekt, dass ich [mm] 1+z_n [/mm] so umstellen kann.
Aber was mir Sorgen bereitet ist momentan eher der Betrag von [mm] 1+z_n....
[/mm]
Weil ich muss ja nicht nur zeigen, dass [mm] (1+z_n)^2^n [/mm] gleich 1 ist, sondern dass das ganze noch durch den Betrag von [mm] 1+z_n [/mm] gleich 1 sein soll.
Oder wie kann ich den Betrag von [mm] 1+z_n [/mm] noch weiter bearbeiten?
Werde mich erst morgen wieder hierzu melden, weil ich nun schlafen gehe. Wäre aber trotzdem für eine Antwort dankbar.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Mi 21.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kroni!
> Hi,
>
> nun ja, das scheint mir korrekt, dass ich [mm]1+z_n[/mm] so
> umstellen kann.
> Aber was mir Sorgen bereitet ist momentan eher der Betrag
> von [mm]1+z_n....[/mm]
>
> Weil ich muss ja nicht nur zeigen, dass [mm](1+z_n)^2^n[/mm] gleich
> 1 ist, sondern dass das ganze noch durch den Betrag von
> [mm]1+z_n[/mm] gleich 1 sein soll.
Nein, das ist so nicht richtig.
erst einmal haben alle [mm]z_n[/mm] per Definition den Betrag 1, denn
[mm]|z_{n+1}| = \left|\bruch{1+z_n}{|1+z_n|}\right| = \bruch{|1+z_n|}{|1+z_n|} =1[/mm].
Darum brauchst du dich also gar nicht zu kümmern.
> Oder wie kann ich den Betrag von [mm]1+z_n[/mm] noch weiter
> bearbeiten?
[mm]|1+z_n| = | 2 \mathrm{e}^{i\varphi_n/2} \cos(\varphi_n/2) | = 2 \underbrace{|\mathrm{e}^{i\varphi_n/2}|}_{=1} \cdot |\cos(\varphi_n/2) | [/mm].
Also ist
[mm]
z_{n+1} = \bruch{1+z_n}{|1+z_n|} = \mathrm{e}^{i\varphi_n/2}\bruch{2\cos(\varphi_n/2)}{2|\cos(\varphi_n/2) |} = \mathrm{e}^{i\varphi_n/2}\cdot\begin{cases} +1 & \text{für $0\le\varphi_n<\pi$} \\ -1 &\text{für $\pi<\varphi_n<2\pi$} \end{cases}[/mm].
(Der Fall [mm]\varphi_n=\pi[/mm] kommt nicht vor.)
Wenn du jetzt noch [mm]-1=\mathrm{e}^{i\pi}[/mm] schreibst, wird daraus:
[mm]
z_{n+1} = \begin{cases}\mathrm{e}^{i\varphi_n/2}& \text{für $0\le\varphi_n<\pi$} \\\mathrm{e}^{i(\varphi_n/2+\pi)}&\text{für $\pi<\varphi_n<2\pi$} \end{cases}[/mm],
oder mit [mm]z_{n+1}=\mathrm{e}^i\varphi_{n+1}}[/mm]:
[mm]\varphi_{n+1} = \begin{cases} \bruch{1}{2}\varphi_n& \text{für $0\le\varphi_n<\pi$} \\
\bruch{1}{2}\varphi_n+\pi&\text{für $\pi<\varphi_n<2\pi$} \end{cases}[/mm].
Jetzt benutzt du noch
[mm]
z_n^k = \mathrm{e}^{ik\varphi_n}[/mm],
und damit
[mm]z_n^{2^n} = 1 \gdw \text{$2^n\varphi_n$ ist ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi$}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:49 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
danke für deine Mühen, ich werde das mal heute im Laufe des Tages versuchen, nachzuvollziehen.
Liebe Grüße,
Kroni
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