primteiler mit eigenschaft < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei [mm] 1
Zeige: Für jeden Primteiler p von k!+1 sowie k!-1 gilt: k<p.
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Hallo,
die Behauptung zu verstehen ist recht einfach.
Ich dachte mir, ich benutze den Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie und schreibe:
[mm] k!+1=\prod_{i=1}^{k}p_{k} [/mm] mit [mm] p_k [/mm] sind Primzahlen, und wollte dann noch k ebenfalls als ein solches Produkt von anderen Primzahlen schreiben.
Damit kommt man nach Umformen aber garnicht weiter.
Wie sollte man es besser machen?
Gruß Unk
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> Sei [mm]1
> Zeige: Für jeden Primteiler p von
> k!+1 sowie k!-1 gilt: k<p.
>
> Hallo,
>
> die Behauptung zu verstehen ist recht einfach.
> Ich dachte mir, ich benutze den Fundamentalsatz der
> elementaren Zahlentheorie und schreibe:
> [mm]k!+1=\prod_{i=1}^{k}p_{k}[/mm]
Dies hast du äußerst ungeschickt und falsch
notiert.
Wenn du i als Produktindex verwendest, sollten
die Faktoren nicht [mm] p_k, [/mm] sondern [mm] p_i [/mm] heißen.
Ferner darfst du nicht annehmen, dass die
Anzahl der Faktoren des Produkts gleich dem
k (aus k!+1) ist. Und übrigens könnte ja ein
Primfaktor allenfalls auch mehrfach auftreten ...
> mit [mm]p_k[/mm] sind Primzahlen, und
> wollte dann noch k ebenfalls als ein solches Produkt von
> anderen Primzahlen schreiben.
>
> Damit kommt man nach Umformen aber garnicht weiter.
> Wie sollte man es besser machen?
>
> Gruß Unk
Hallo Unk,
Nimm (für den ersten Fall) an, du hättest einen
Primteiler p von (k!+1) mit [mm] p\le{k} [/mm] und zeige
(insbesondere mit Zuhilfenahme der Definition
der Fakultät), dass dies auf einen Widerspruch
führt.
Dann dasselbe mit (k!-1) anstelle von (k!+1).
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo Unk,
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> Nimm (für den ersten Fall) an, du hättest einen
> Primteiler p von (k!+1) mit [mm]p\le{k}[/mm] und zeige
> (insbesondere mit Zuhilfenahme der Definition
> der Fakultät), dass dies auf einen Widerspruch
> führt.
> Dann dasselbe mit (k!-1) anstelle von (k!+1).
>
>
> LG Al-Chw.
>
Gut. Ang. [mm] p\leq [/mm] k. Sei p ein Primteiler von k!+1, dann [mm] k!+1=n\cdot [/mm] p mit [mm] n\in \mathbb{N}, [/mm] dann gilt:
[mm] k!+1=np\leq [/mm] nk
dann kann ich noch die linke Seite verkleinern, also:
[mm] k!
Aber das ist nun doch kein Widerspruch.
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> > Hallo Unk,
> >
> > Nimm (für den ersten Fall) an, du hättest einen
> > Primteiler p von (k!+1) mit [mm]p\le{k}[/mm] und zeige
> > (insbesondere mit Zuhilfenahme der Definition
> > der Fakultät), dass dies auf einen Widerspruch
> > führt.
> > Dann dasselbe mit (k!-1) anstelle von (k!+1).
> >
> >
> > LG Al-Chw.
> >
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> Gut. Ang. [mm]p\leq[/mm] k. Sei p ein Primteiler von k!+1, dann
> [mm]k!+1=n\cdot[/mm] p mit [mm]n\in \mathbb{N},[/mm] dann gilt:
> [mm]k!+1=np\leq[/mm] nk
> dann kann ich noch die linke Seite verkleinern, also:
> [mm]k!
> Aber das ist nun doch kein Widerspruch.
Hallo,
ich meine Folgendes: Wenn p eine natürliche Zahl
mit [mm] p\le [/mm] k ist, dann ist p unter den Faktoren vertreten,
welche die Fakultät k! bilden. Ein solches p wäre also
gleichzeitig ein Teiler von k! und von (k!+1).
Was lässt sich daraus schliessen ?
Gruß Al-Chw.
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