projektive Koordinaten? < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:07 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo zusammen!
Folgende Folie hatten wir in der Vorlesung "Computer Vision":
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das obere Bildchen verstehe ich, glaube ich, noch, aber was ist mit dem unteren Teil ab "Linearisierung" gemeint? Sehe ich das richtig, dass hier ein dreidimensionales Bild als Projektion eines vierdimensionalen Raums angesehen wird? Aber wozu? Im obigen Fall mache ich doch quasi genau das Gegenteil, ich gehe aus dem [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^2, [/mm] also eine Dimension runter.
Kann mir irgendjemand etwas zu dem unteren Teil sagen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 So 11.02.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Bastiane!
> Folgende Folie hatten wir in der Vorlesung "Computer
> Vision":
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Das obere Bildchen verstehe ich, glaube ich, noch, aber was
> ist mit dem unteren Teil ab "Linearisierung" gemeint?
Es geht darum, dass du die Projektion $(X, Y, Z) [mm] \mapsto [/mm] (f/Z X, f/Z Y)$, welche ja eine nicht-lineare Abbildung ist, durch eine ganz normale lineare Abbildung ersetzen willst. (Genauso kann man im Projektiven auch Translationen, die ja erstmal auch nicht linear sind sondern nur affin-linear, durch lineare Transformationen im Projektiven ersetzen.)
Dazu kommst du halt mit den gewoehnlichen drei Koordinaten $(x, y, z)$ nicht mehr aus, und du brauchst homogene/projektive Koordinaten. Schau dir mal z.B. diese Diskussion ![[]](/images/popup.gif) hier an (auch wenn es da nur um den zweidimensionalen projektiven Raum geht und nicht wie bei dir um den dreidimensionalen projektiven Raum).
> Sehe
> ich das richtig, dass hier ein dreidimensionales Bild als
> Projektion eines vierdimensionalen Raums angesehen wird?
> Aber wozu? Im obigen Fall mache ich doch quasi genau das
> Gegenteil, ich gehe aus dem [mm]\IR^3[/mm] in den [mm]\IR^2,[/mm] also eine
> Dimension runter.
Ich finde, die Folie ist ziemlich schlecht formuliert. Wenn man weiss, worum es geht, versteht man es, aber ansonsten kommt man nur mit der Folie nicht klar.
Du betrachtest am Anfang die Projektionsabbildung [mm] $\IR^3 \to \IR^2$, [/mm] $(x, y, z) [mm] \mapsto [/mm] (f x/z, f y/z)$. Nun kannst du das natuerlich auch als Abbildung $(x, y, z) [mm] \mapsto [/mm] (f x/z, f y/z, 0)$ auffassen (oder sonst eine feste $z$-Koordinate fuer das Bild waehlen ausser 0).
In dieser Abbildung kommt eine Division durch eine Komponente vor, insofern ist sie nicht linear. Und man moechte gerne mit linearen Abbildungen arbeiten :)
Deswegen arbeitet man mit homogenen Koordinaten: Fuer einen homogenen Vektor $(x, y, z, w)$ mit $w [mm] \neq [/mm] 0$ gilt $(x, y, z, w) = (x/w, y/w, z/w, 1)$ im projektiven Raum. Man kann also `indirekt' durch Komponenten dividieren. Die Projektion von oben, die im affinen Raum $(x, y ,z)$ auf $(f x/z, f y/z, 0)$ abbildet, sieht im projektiven also so aus: $(x, y, z, 1)$ wird auf $(f x/z, f y/z, 0, 1) = (f x, f y, 0, z)$ abgebildet.
Oder genauer (wenn man nicht Vektoren der Form $(x, y, z, 1)$ annimmt): der Vektor $(x, y, z, w)$ wird auf $(f x, f y, 0, z)$ abgebildet (das siehst du, wenn du in der obigen Formel $x, y, z$ durch $x/w, y/w, z/w$ ersetzt, dann faellt das $w$ zum Schluss wieder weg).
Hilft dir das weiter?
LG Felix
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