projektive lin.Abb. homöomorph < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:26 So 08.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei V ein (n+1)-dimensionaler K-Vektorraum und sei [mm] \phi: V\longrightarrow [/mm] V eine bijektive lineare Abbildung.
Zeigen Sie, dass die zugehörige projektive lineare Abbildung [mm] \overline \phi: \mathbb{P}(V)\longrightarrow \mathbb{P}(V) [/mm] mit [mm] l\mapsto \phi(l)
[/mm]
ein Homöomorphismus von [mm] \mathbb{P}(V) [/mm] in der Zariski-Topologie ist. |
Morgen Leute,
ist es hier am sinnvollsten, die drei Bedingungen für einen Homöomorphismus zu zeigen, also sprich bijektiv, stetig und Umkehrabbildung auch stetig oder gibt es eine elegantere Form das zu beweisen? Hat da vielleicht jemand einen Tipp wie man hier am besten vorgeht? Besten Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 So 08.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei V ein (n+1)-dimensionaler K-Vektorraum und sei [mm]\phi: V\longrightarrow[/mm]
> V eine bijektive lineare Abbildung.
> Zeigen Sie, dass die zugehörige projektive lineare
> Abbildung [mm]\overline \phi: \mathbb{P}(V)\longrightarrow \mathbb{P}(V)[/mm]
> mit [mm]l\mapsto \phi(l)[/mm]
> ein Homöomorphismus von
> [mm]\mathbb{P}(V)[/mm] in der Zariski-Topologie ist.
>
> Morgen Leute,
>
> ist es hier am sinnvollsten, die drei Bedingungen für
> einen Homöomorphismus zu zeigen, also sprich bijektiv,
> stetig und Umkehrabbildung auch stetig oder gibt es eine
> elegantere Form das zu beweisen? Hat da vielleicht jemand
> einen Tipp wie man hier am besten vorgeht? Besten Dank
> schon mal.
Es reicht zu zeigen, dass sie stetig ist und invertierbar (wenn du zeigst dass die Inverse von der gleichen Form ist, also nach dem Argument schon stetig ist).
Die Stetigkeit ist sehr einfach zu zeigen. Weisst du was du zeigen musst? Und was du hast? Schreib das doch mal alles konkret hin.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 So 08.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ja nich so richtig. Also ich vermute, dass ich die Stetigkeit über die Eigenschaften einer linearen Abbildung hinkrieg. Nur wie weiß ich nicht so recht. Könntest du mich da etwas in die richtige Richtung lenken? Wär klasse.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 So 08.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ja nich so richtig. Also ich vermute, dass ich die
> Stetigkeit über die Eigenschaften einer linearen Abbildung
> hinkrieg. Nur wie weiß ich nicht so recht. Könntest du
> mich da etwas in die richtige Richtung lenken? Wär klasse.
Na, was muss eine Abbildung denn definieren, damit sie stetig ist? (Arbeite am Besten mit abgeschlossenen und nicht mit offenen Mengen!)
Wie sehen abgeschlossene Mengen aus?
Versuch mal die Urbilder von diesen Mengen zu beschreiben.
(Mal ein Beispiel: ist $A = [mm] \{ x \mid f(x) = 0 \}$ [/mm] und $g$ die Abbildung mit $g(x) = x + 1$, so gilt [mm] $g^{-1}(A) [/mm] = [mm] \{ x \mid f(g(x)) = 0 \} [/mm] = [mm] \{ x \mid f(x + 1) = 0 \}$. [/mm] Setzt du also [mm] $\hat{f}(x) [/mm] := f(x + 1)$, so gilt [mm] $g^{-1}(A) [/mm] = [mm] \{ x \mid \hat{f}(x) = 0 \}$.)
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 So 08.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Nun eine Abbildung ist stetig, wenn Urbilder von beliebigen offenen bzw. abgeschlossenen Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen sind.
Die abgeschlossenen (Teil-)Mengen [mm] Z\subset \mathbb{P}(V) [/mm] sehen wie folgt aus: [mm] Z=\{a\in \mathbb{P}(V): f_1(a)=0,...,f_k(a)=0 \text{ mit } f_i \text{ homogene Polynome} \}
[/mm]
Für die Urbilder gilt demnach: [mm] \overline\phi^{-1}(Z)=\{a\in \mathbb{P}(V): f_1(\overline\phi(a))=0,...,f_k(\overline\phi(a))=0\}=\{a\in \mathbb{P}(V): f_1(\phi(a))=0,...,f_k(\phi(a))=0\}
[/mm]
Jetz berücksichtige ich noch deinen Vorschlag und setze [mm] f_i(\phi(a)):=\psi_i(a)
[/mm]
Somit gilt also: [mm] \overline\phi^{-1}(Z)=\{a\in \mathbb{P}(V): \psi_1(a)=0,...,\psi_k(a)=0\}
[/mm]
Hab ich damit jetzt schon gezeigt, dass [mm] \overline\phi [/mm] steig ist? Und wenn ja wie mach ich dann weiter? Ich muss ja noch zeigen, dass sie invertierbar ist und diese dann auch wieder stetig. Dank dir schon mal vielmals.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 So 08.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Nun eine Abbildung ist stetig, wenn Urbilder von beliebigen
> offenen bzw. abgeschlossenen Mengen wieder offen bzw.
> abgeschlossen sind.
>
> Die abgeschlossenen (Teil-)Mengen [mm]Z\subset \mathbb{P}(V)[/mm]
> sehen wie folgt aus: [mm]Z=\{a\in \mathbb{P}(V): f_1(a)=0,...,f_k(a)=0 \text{ mit } f_i \text{ homogene Polynome} \}[/mm]
>
> Für die Urbilder gilt demnach:
> [mm]\overline\phi^{-1}(Z)=\{a\in \mathbb{P}(V): f_1(\overline\phi(a))=0,...,f_k(\overline\phi(a))=0\}=\{a\in \mathbb{P}(V): f_1(\phi(a))=0,...,f_k(\phi(a))=0\}[/mm]
>
> Jetz berücksichtige ich noch deinen Vorschlag und setze
> [mm]f_i(\phi(a)):=\psi_i(a)[/mm]
> Somit gilt also: [mm]\overline\phi^{-1}(Z)=\{a\in \mathbb{P}(V): \psi_1(a)=0,...,\psi_k(a)=0\}[/mm]
>
>
> Hab ich damit jetzt schon gezeigt, dass [mm]\overline\phi[/mm] steig
> ist?
Ja: du hast gezeigt, dass das Urbild einer beliebigen abgeschlossenen Menge wieder abgeschlossen ist.
> Und wenn ja wie mach ich dann weiter? Ich muss ja noch
> zeigen, dass sie invertierbar ist und diese dann auch
> wieder stetig. Dank dir schon mal vielmals.
Nun, die Inverse kannst du ganz einfach angeben: dazu brauchst du die Inverse [mm] $\phi^{-1}$ [/mm] (diese ist auch wieder linear). Und deren Stetigkeit folgt genauso.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 So 08.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Na dann war die Aufgabe doch einfacher als gedacht. Gut ich hatte ja auch einen guten Lehrer, der mir geholfen hat :). Also vielen Dank dafür.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mi 11.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ich hätte da doch noch ne kleine Frage. Wozu brauch ich hier die Linearität der Abbildungen? Was wäre, wenn die beiden nicht linear wären? Danke schon mal für die Antwort.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich hätte da doch noch ne kleine Frage. Wozu brauch ich
> hier die Linearität der Abbildungen? Was wäre, wenn die
> beiden nicht linear wären? Danke schon mal für die
> Antwort.
Du brauchst die Linearitaet nicht wirklich: es reicht auch aus, wenn es eine polynomielle Funktion ist.
Jedoch hast du dann nicht umbedingt eine Inverse, und es ist nicht so einfach zu einer konkreten Funktion zu sagen ob sie ein Inverses besitzt oder nicht. Bei linearen Funktionen dagegen ist das sehr einfach (Stichwort: Determinante).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Mi 11.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay gut, aber ich hab doch bei linearen Funktionen auch nicht unbedingt eine Inverse, d.h. ich müsste hier eigentlich noch zeigen, dass die Inverse [mm] \phi^{-1} [/mm] bzw. [mm] \overline \phi^{-1} [/mm] überhaupt existiert ?? Dazu muss ich doch aber die Matrix der linearen Abbildung kennen, was ich nicht tue. Wie geh ich dann vor??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Okay gut, aber ich hab doch bei linearen Funktionen auch
> nicht unbedingt eine Inverse, d.h. ich müsste hier
> eigentlich noch zeigen, dass die Inverse [mm]\phi^{-1}[/mm] bzw.
> [mm]\overline \phi^{-1}[/mm] überhaupt existiert ?? Dazu muss ich
> doch aber die Matrix der linearen Abbildung kennen, was ich
> nicht tue. Wie geh ich dann vor??
Lies dir mal die Aufgabenstellung genau durch. Da steht ein wichtiges Woertchen, was dir hier weiterhilft.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mi 11.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Also aufgrund der Bijektivität der Abbildung könnte man also auch die Linearität wegfallen lassen und der Beweis würde trotzdem so funktionieren?
Aber nur weil [mm] \phi [/mm] bijektiv ist, muss doch nicht unbedingt auch [mm] \overline \phi [/mm] bijektiv sein oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also aufgrund der Bijektivität der Abbildung könnte man
> also auch die Linearität wegfallen lassen und der Beweis
> würde trotzdem so funktionieren?
Wenn die Umkehrfunktion ebenfalls polynomiell ist, ja.
> Aber nur weil [mm]\phi[/mm] bijektiv ist, muss doch nicht unbedingt
> auch [mm]\overline \phi[/mm] bijektiv sein oder?
Noe. Es muss nichtmals wohldefiniert sein.
Aber wenn [mm] $\phi$ [/mm] linear und bijektiv ist, dann ist die Umkehrabb. [mm] $\phi^{-1}$ [/mm] ebenfalls linear und induziert ebenfalls eine Abbildung [mm] $\mathbb{P}(V) \to \mathbb{P}(V)$, [/mm] welche sich als Inverse von [mm] $\overline{\phi}$ [/mm] herausstellt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 Do 12.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay jetzt bin ich leicht verwirrt. Brauch ich nun beides also Bijektivität und Linearität oder reicht die Bijektivität aus? Oder soll ich das so verstehn, dass eine polynomielle Umkehrabbbildung äquivalent zur Linearität von [mm] \phi [/mm] ist?? Demnach würde die polynomielle Umkehrabb. [mm] \phi^{-1} [/mm] ebenfalls eine polynomielle Abbildung [mm] \mathbb{P}(V) \to \mathbb{P}(V) [/mm] induzieren und [mm] \overline \phi [/mm] wäre damit auch bijektiv. War das so gemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:28 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Okay jetzt bin ich leicht verwirrt. Brauch ich nun beides
> also Bijektivität und Linearität oder reicht die
> Bijektivität aus? Oder soll ich das so verstehn, dass eine
> polynomielle Umkehrabbbildung äquivalent zur Linearität
> von [mm]\phi[/mm] ist?? Demnach würde die polynomielle Umkehrabb.
> [mm]\phi^{-1}[/mm] ebenfalls eine polynomielle Abbildung
> [mm]\mathbb{P}(V) \to \mathbb{P}(V)[/mm] induzieren und [mm]\overline \phi[/mm]
> wäre damit auch bijektiv. War das so gemeint?
Du brauchst eine Funktion, die
a) (homogen) polynomiell ist,
b) bijektiv ist,
c) deren Umkehrfunktion wiederum (homogen) polynomiell ist.
Dies ist bei invertierbaren linearen Abbildungen erfuellt. Es kann aber auch andere geben.
LG Felix
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