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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 So 30.05.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | a) Seien a>0 f: [mm] [-a,a]\to \IR [/mm] stetig und fünfmal diff'bar in (-a,a) sowie punktsymmetrisch.
z.z.:
[mm] \forall x\in(-a,a) \exists \xi\in[0,x]: f(x)=\bruch{x}{3}*(f'(x)+2*f'(0))-\bruch{x^{5}}{5}*f^{(5)}(\xi)
[/mm]
b) Sei f: [mm] [a,b]\to \IR [/mm] stetig und viermal diff'bar in (a,b), sei
[mm] S:=\bruch{b-a}{6}*(f(a)+f(b)+4*f(\bruch{a+b}{2}))
[/mm]
z.z.:
[mm] \exists \xi\in[a,b]: S-\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\bruch{(b-a)^{5}}{2880}*f^{(4)}(\xi)
[/mm]
Hint: für fünfmal diff'bares F reicht es zu zeigen:
[mm] F(b)-F(a)=\bruch{b-a}{6}*(F'(a)+4*F'(\bruch{a+b}{2})+F'(b))-\bruch{(b-a)^{5}}{2880}*F^{(5)}(\xi) [/mm] |
Ich hab irgendwie nicht wirklich nen Ansatz, wie ich das lösen sollte... Für b) soll man wohl irgendwie a) verwenden können...
Die Frage ist nur wie... Ich erkenne da noch keinen Zusammenhang.
Aber ich verzweifel ja schon bei a)...
Hat das irgendwas mit der Taylorformel zu tun? Irgendwie müssen ja die Ableitungen auftauchen...
Außerdem sieht das vielleicht nach MWS oder ZWS aus...
Aber worauf muss ich das nun anwenden und was?
Und was soll der Hinweis?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Mo 31.05.2010 | | Autor: | valoo |
Ach, die Gleichung bei a) ist nicht ganz richtig, wie ich gerade gesehen habe. Sie müsste lauten:
[mm] f(x)=\bruch{x}{3}(f'(x)+2*f'(0))-\bruch{x^{5}}{180}*f^{(5)}(\xi)
[/mm]
Mit Taylorentwicklung (Grad 4) an der Stelle a=0 und nach Lagrange bin ich bis jetzt auf
[mm] f(x)=f'(0)*x+\bruch{f^{(3)}}{6}*x^{3}+\bruch{f^{5}(x)}{120}*x^{5} [/mm] gekommen.
Das sieht doch garnicht so anders aus...
Die Frage ist nur: Woher kommt das f'(x), das 1/3, wohin verschwindet die dritte Ableitung und warum steht da -1/180??? etc.
Mit noch ner Taylorentwicklung kam ich noch nicht zum Ziel...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Mo 31.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
setz mal Taylor von f'(x) on die erste Formel ein, dann vergleich mit deiner Taylorformel.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Di 01.06.2010 | | Autor: | valoo |
Und wie ist das mit Aufgabe b)? Kann man die so ähnlich lösen? Aber ich erkenne irgendwie nicht, wie man a) zum Beweis verwenden könnte...
Wo ist denn da die Punktsymmetrie?
Kommt man irgendwie zum Ziel, wenn man [mm] F(x):=\integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] an der Stelle [mm] x_{0}:=\bruch{a+b}{2} [/mm] taylorentwickelt?
[mm] F(x)=F(\bruch{a+b}{2})+F'(\bruch{a+b}{2})*x+F''(\bruch{a+b}{2})*\bruch{x^{2}}{2}+F^{(3)}(\bruch{a+b}{2})*\bruch{x^{3}}{6}+F^{(4)}(\bruch{a+b}{2})*\bruch{x^{4}}{24}+R_{4}(x)
[/mm]
Wenn man dann F(b)-F(a) ausrechnet fällt zumindest der erste Teil weg...
Aber sonst...
Das geht doch bestimmt ganz einfach mit a), wenn man weiß, wie man das verwenden soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Di 01.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Taylorentw. ist falsch!
wenn man etwa um a entwickelt hat man
[mm] f(x)=f(a)+f'(a)*(x-a)+0.5*f''(a)*(x-a)^2*....
[/mm]
Gruss leduart
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