punktweise Konvergenz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Fr 04.04.2008 | | Autor: | algieba |
| Aufgabe | Für jede natürliche Zahl [mm]n[/mm] sei [mm]f_n : \IR \to \IR[/mm] definiert durch
[mm]f_n(x) := \begin{cases} \bruch{1}{n} & \mbox{für } x \in [n,n+1) \\ 0 & \mbox{für } x \not\in [n,n+1) \end{cases}[/mm]
Zeigen sie, dass die Funktionenreihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} f_n[/mm] punktweise absolut, aber nicht normal konvergiert.
Zeigen sie außerdem, dass es zu jedem [mm]\varepsilon > 0 [/mm] ein [mm]n_0[/mm] gibt, so dass für alle [mm] m > n_0[/mm] und alle [mm] x \in \IR[/mm] gilt: [mm] \vmat{\summe_{n=n_0+1}^{m} f_n (x)}[/mm] [mm]<\varepsilon[/mm] |
Hi
Ich habe zu punktweiser Konvergenz schon 2 Definitionen gelesen. Die eine (aus dem Buch, aus dem die Aufgabe ist) sagt nur was über Funktionenreihen aus, während die andere von Funktionenfolgen spricht. Was gibt es da für einen Unterschied, und wann nehme ich was? Könnte ich bei dieser Aufgabe auch die punktweise Konvergenz von [mm] f_n[/mm] zeigen (Wenn ja wie???)?
Wie muss ich die Aufgabe allgemein lösen? Könnte mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum oder Internetseite gestellt.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für jede natürliche Zahl [mm]n[/mm] sei [mm]f_n : \IR \to \IR[/mm] definiert
> durch
>
> [mm]f_n(x) := \begin{cases} \bruch{1}{n} & \mbox{für } x \in [n,n+1) \\ 0 & \mbox{für } x \not\in [n,n+1) \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen sie, dass die Funktionenreihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} f_n[/mm]
> punktweise absolut, aber nicht normal konvergiert.
>
> Zeigen sie außerdem, dass es zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein
> [mm]n_0[/mm] gibt, so dass für alle [mm]m > n_0[/mm] und alle [mm]x \in \IR[/mm] gilt:
> [mm]\vmat{\summe_{n=n_0+1}^{m} f_n (x)}[/mm] [mm]<\varepsilon[/mm]
> Hi
>
> Ich habe zu punktweiser Konvergenz schon 2 Definitionen
> gelesen. Die eine (aus dem Buch, aus dem die Aufgabe ist)
> sagt nur was über Funktionenreihen aus, während die andere
> von Funktionenfolgen spricht. Was gibt es da für einen
> Unterschied, und wann nehme ich was? Könnte ich bei dieser
> Aufgabe auch die punktweise Konvergenz von [mm]f_n[/mm] zeigen (Wenn
> ja wie???)?
also Du hast oben zunächst eine Funktionenfolge gegeben, wobei Du mit dieser schlussendlich eine Funktionenreihe bildest. Das sollte Dir schonmal klar sein.
Zudem:
Wenn Du eine Funktionenreihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} f_n$ [/mm] hast, und es dort schon nur eine Stelle [mm] $x_0$ [/mm] gibt, so dass [mm] $(f_n(x_0))_{n \in \IN}$ [/mm] keine Nullfolge ist, so hast Du ein Problem, nämlich mit dem Hinschreiben von
[mm] $\sum_{n=1}^\infty f_n(x_0)$
[/mm]
Du wirst hier also auf jeden Fall zeigen können, dass für jedes feste $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, dass [mm] $f_n(x) \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Ansonsten gebe ich Dir hier nun einfach mal den Rat, dass Du Dich mit Begriffen wie absolute Konvergenz, normale Konvergenz etc. nochmal auseinandersetzt, also die Definitionen nachschlagen, Charakterisierungen und Aussagen für diese Begriffe nachguckst usw..
Wenn ich mir die obige Funktionenfolge mal angucke:
[mm] $f_1(x)=\frac{1}{1}=1$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [1,2)$, ansonsten ist [mm] $f_1(x)=0$.
[/mm]
[mm] $f_2(x)=\frac{1}{2}$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [2,3)$, ansonsten ist [mm] $f_2(x)=0$.
[/mm]
[mm] $f_3(x)=\frac{1}{3}$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [3,4)$, ansonsten ist [mm] $f_3(x)=0$.
[/mm]
.
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.
(Zur "punktweisen Nullkonvergenz" von [mm] $(f_n(x))_{n \in \IN}$ [/mm] für festes $x$:
Ist $x [mm] \in \IR$ [/mm] fest, so existiert eine kleinste natürliche Zahl [mm] $n_0 \ge [/mm] x$ (für $x [mm] \le [/mm] 1$ ist dann einfach [mm] $n_0=1$). [/mm] Für alle $n [mm] \ge n_0+1$ [/mm] ist dann aber $x [mm] \notin [/mm] [n,n+1)$, also [mm] $f_n(x)=0$, [/mm] d.h. [mm] $f_n(x)=0$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0+1$ [/mm] und daher insbesondere [mm] $f_n(x) \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$.)
[/mm]
Jetzt schaue ich mir mal [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}f_n$ [/mm] an, d.h., ich betrachte die Folge der Teilsummen [mm] $\left(\sum_{n=1}^{N}f_n\right)_{N \in \IN}$:
[/mm]
$N=1$: [mm] $\sum_{n=1}^1 f_n(x)=f_1(x)$, [/mm] und wie [mm] $f_1(x)$ [/mm] aussieht, steht oben.
$N=2$: [mm] $\sum_{n=1}^2 f_n(x)=f_1(x)+f_2(x)=\begin{cases} \frac{1}{1}=1, & \mbox{für } x \in [1,2) \\ \frac{1}{2}, & \mbox{für } x \in [2,3) \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}$
[/mm]
$N=3$: [mm] $\sum_{n=1}^3 f_n(x)=f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in [1,2) \\ \frac{1}{2}, & \mbox{für } x \in [2,3) \\ \frac{1}{3}, & \mbox{für } x \in [3,4)\\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}$
[/mm]
.
.
.
Ich behaupte nun einfach mal folgendes:
[mm] $\sum_{n=1}^\infty f_n=f$, [/mm] wobei $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] wie folgt definiert ist:
[mm] $f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{ für } x < 1 \\ \frac{1}{n}, & \mbox{ falls } x \in [n, n+1) \mbox{ mit einem } n \in \IN\end{cases}$
[/mm]
Wichtig dabei:
Jedes $x [mm] \ge [/mm] 1$ liegt in genau einem Intervall der Art $[n,n+1)$ mit einem $n [mm] \in \IN$, [/mm] man bekommt das $n$ mittels
[mm] $[x]:=\max\{z \in \IZ: z \le x\}$, [/mm] d.h. es gilt $n=[x]$.
Wenn Du das obige verstanden hast, sollte es eigentlich fast banal sein, zu zeigen, dass die obige Funktionenreihe punktweise absolut konvergiert. Weil alle [mm] $f_n$ [/mm] sowieso nur Werte [mm] $\ge [/mm] 0$ annehmen, ist das hier nämlich das gleiche, wie, wenn man die punktweise Konvergenz begründen sollte. Für festes $x < 1$ ist das banal. Für $x [mm] \ge [/mm] 1$ mache ich es Dir mal an einem Beispiel klar:
[mm] $x=\frac{102}{10}$. [/mm] Es gilt [mm] $f_n(x)=f_n\left(\frac{102}{10}\right)=\begin{cases} \frac{1}{10}, & \mbox{ für } n =10 \\ 0, & \mbox{ für } n \in \IN\setminus\{10\} \end{cases}$ [/mm] (beachte: [mm] $\left[\frac{102}{10}\right]=10$) [/mm] und daher
[mm] $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n\left(\frac{102}{10}\right)=\frac{1}{10}$
[/mm]
Und zu dem "Zeigen Sie außerdem...":
Ich gebe Dir nun mal den Tipp, Dir selbst klarzumachen, wie für [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] fest die Funktionen
[mm] $\sum_{n=n_0+1}^{n_0+1}f_n=f_{n_0+1}$,
[/mm]
[mm] $\sum_{n=n_0+1}^{n_0+2}f_n$,
[/mm]
[mm] $\sum_{n=n_0+1}^{n_0+3}f_n$
[/mm]
konkret aussehen (wenn es unklar ist, dann mache es meinetwegen auch zunächst mal mit einem festen [mm] $n_0$, [/mm] meinetwegen [mm] $n_0=3$).
[/mm]
Dann bekommst Du vielleicht auch schon selbst eine Idee, wie man das "außerdem" beweist.
P.S.:
Wenn ich den Begriff der normalen Konvergenz nach Wiki (![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Normale_Konvergenz) zugrundelege, so habe ich hier übrigens noch das Problem, das obige Funktionenreihe meiner Ansicht nach doch normal konvergieren muss.
Denn Fakt ist:
Nehme ich ein festes [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] her und lege ich eine [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] um [mm] $x_0$ [/mm] (mit [mm] $\delta [/mm] > 0$), so dass in dieser dieser maximal eine natürliche Zahl liegt (ich kann das [mm] $\delta$ [/mm] so klein wählen, dass keine mehr drinliegt, wenn nur [mm] $x_0$ [/mm] selber keine natürliche Zahl ist; andernfalls wird das [mm] $x_0$ [/mm] ja immer auch selbst in seiner [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] liegen), so gilt für alle $n [mm] \ge [x_0]+1$, [/mm] dass [mm] $f_n$ [/mm] in dieser [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] verschwindet, d.h. für alle $x$ in dieser [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] gilt [mm] $f_n(x)=0$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [x_0]+1$. [/mm] Und nenne ich diese [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] dann $U$, so folgt
[mm] $\sum_{n=[x_0]+1}^\infty |f_n|_{U}=0$
[/mm]
und daher
[mm] $\sum_{n=1}^\infty |f_n|_{U}=\sum_{n=1}^{[x_0]} |f_n|_{U} [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
(Was damit gemeint ist, entnimmst Du dem obigen Link von Wiki.)
P.S.:
Man kann hier auch nicht den Satz: "Sind die [mm] $f_n$ [/mm] stetig und ist [mm] $\sum_{n=1}^\infty f_n$ [/mm] normal konvergent, so ist auch [mm] $f=\sum_{n=1}^\infty f_n$ [/mm] stetig" benutzen, denn die obigen [mm] $f_n$ [/mm] sind alle alles andere als stetig (jedes [mm] $f_n$ [/mm] hat ja zwei Sprungstellen!).
Edit:
Ich habe gerade wohl Eure Definition der normalen Konvergenz nachgelesen (http://www.math.uni-wuppertal.de/~fritzsch/, bei Lectures, Kapitel 2 [mm] $\leftarrow$ Definition vor Satz 4.5), sie unterscheidet sich wesentlich von der in Wikipedia gegebenen.
Nach dieser Definition ist obige Funktionenreihe in der Tat nicht normal konvergent:
Dabei solltest Du Dir einfach klarmachen, dass $||f_n||=\frac{1}{n}$ gilt und dass $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ bekanntlich gegen $\infty$ divergiert.
Denn oben ist $X=\IR$, und ihr hattet $||f||:=\sup\{|f(x)|:x \in X\}$, vgl. S.73.
P.P.S.:
Die dort auftretende [blue]Reihenmaschine[/blue] (interne Zählung: S. 72) finde ich gerade sehr sehr schön :-). Vor allem das Ende:
"Kreativ werden oder Experten fragen"
(Da könnte man noch hinzuschreiben: Und ggf. Experten kreativ werden lassen ;-))
Gruß,
Marcel
[/mm]
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