punktweise Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe die Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] : [0,1] [mm] \to \IR [/mm] , [mm] f_n [/mm] (x) := [mm] \begin{cases} -n+n^2x, & \mbox{für } 0 \le x \le \bruch{1}{n} \\ 0, & \mbox{für } \bruch{1}{n} \le x \le 1 \end{cases}
[/mm]
und möchte diese auf punktweise Konvergenz untersuchen.
Da aber [mm] f_n(0) [/mm] = -n [mm] \to [/mm] - [mm] \infty [/mm] für n [mm] \to \infty
[/mm]
ist die Folge [mm] (f_n) [/mm] nicht punktweise konvergent.
Habe ich das so richtig erkannt, oder liege ich falsch?
Danke,
Anna
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:52 So 15.06.2008 | | Autor: | algieba |
Hi
Diese Funktion konvergiert punktweise gegen die konstante Nullfunktion. Wenn du n gegen unendlich laufen lässt, dann wird [mm]\bruch{1}{n}[/mm] immer kleiner, und zwischen [mm]\bruch{1}{n}[/mm] und [mm]1[/mm] ist deine Funktion ja konstant 0. Je größer du n wählst, desto kürzer wird der Teil am Anfang wo der Fall [mm]-n+n^2x[/mm] eintritt. Und für einen bestimmten Punkt [mm]x_0[/mm] findest du immer ein n so dass für jedes N>n die Funktion [mm] f_N(x)=0[/mm] ist, für [mm]x>x_0[/mm].
Hast du es verstanden? Wenn nicht frag einfach nochmal nach.
Viele Grüße
algieba
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Hallo algieba,
DANKE für Deine Antwort!
Das was Du geschrieben hast leuchtet mir ein und ich kann es nachvollziehen.
Jetzt überlege ich, ob die Funktion auch gleichmäßig konvergent ist. Das heißt ja,
dass gelten müsste:
[mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0 \in \IN [/mm] : || [mm] f_n [/mm] - 0 [mm] ||_{[0,1]} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für jedes n [mm] \ge n_0
[/mm]
Das ist ja nicht der Fall. Richtig?
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Mo 16.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht, musst das aber noch ausführen, dass du zu jedem n ein größeres angeben kansst, so dass f(n) z.Bsp >1 ist. Da f(0)=n ja sicher ist, ist kllar, dass die fkt nicht glm konvergiert, da ja die Grenzfkt bei 0 unstetig ist.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
DANKE für Deine Antwort.
Nur noch eine kurze Nachfrage:
> Da f(0)=n ja sicher ist, ist kllar, dass die fkt nicht
Ist nicht [mm] f_n(0) [/mm] = -n ?
Gruß,
Anna
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> Ist nicht [mm]f_n(0)[/mm] = -n ?
Hallo,
ja, es ist lt. Funktionsvorschrift [mm] f_n(0)= [/mm] -n
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 07:53 Mo 16.06.2008 | | Autor: | angela.h.b. |
> Diese Funktion konvergiert punktweise gegen die konstante
> Nullfunktion.
Hallo,
das ist nicht richtig.
Anna-Lyses Funktion ist auf dem Intervall [0,1] definiert, und genau wie sie in ihrem Eingangspost feststellt, ist die Stelle x=0 der Knackpunkt: [mm] f_n(0) [/mm] konvergiert nicht, und somit konvergiert die Funktionenfolge [mm] (f_n) [/mm] nicht punktweise, womit sich dann auch die Überlegungen bzgl. gleichmäßiger Konvergenz erübrigen.
Wenn man allerdings die Funktion lediglich auf ]0,1] betrachten sollte, wäre sie punktweise konvergent mit der Nullfunktion als Grenzfunktion, aber sie wäre nicht glm. konvergent.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
also war mein erster Gedanke doch nicht verkehrt. 
Es ist doch so, dass die Folge nicht punktweise konvergent
sein kann, weil eben [mm] f_n(0) [/mm] = -n
und somit ist es eben nicht so, dass für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1] die
Folge [mm] (x^n) [/mm] gegen die konstante Nullfolge konvergiert,
denn [mm] f_n(0) [/mm] strebt gegen - [mm] \infty [/mm] für jedes n mit n [mm] \to \infty.
[/mm]
Und daher kann man auch keine Grenzfunktion angeben
(die z.B. mit Fallunterscheidung definiert wäre für x=0).
Habe ich das so richtig erkannt/zusammengefasst?
Danke,
Anna
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> also war mein erster Gedanke doch nicht verkehrt.
Hallo,
nein, der war goldrichtig.
> Es ist doch so, dass die Folge nicht punktweise
> konvergent
> sein kann, weil eben [mm]f_n(0)[/mm] = -n
und damit konvergiert die Folge [mm] (f_n(0)) [/mm] nicht.
Und weil die Folge [mm] (f_n(0)) [/mm] nicht konvergiert, ist die Folge [mm] (f_n) [/mm] nicht punktweise konvergent - weder gegen die Nullfunktion noch gegen eine andere Funktion.
Es ist aber auf jeden Fall lohnenswert, wenn Du Dir dieselbe Funktionenfolge auf dem Intervall ]0,1] anschaust, denn hier hast Du pw. Konvergenz.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Angela,
DANKE für Deine Antwort!!
Gruß,
Anna
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Hallo,
und wenn ich nun die Funktionenfolge
[mm] f_n [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] , [mm] f_n(x) [/mm] := [mm] \bruch{2x}{n}
[/mm]
untersuche, dann bekomme ich folgende Ergebnisse raus:
Die Folge konvergiert punktweise gegen die konstante Nullfolge.
Aber die Folge ist nicht gleichmäßig konvergent gegen die Nullfolge,
denn [mm] |f_n(x) [/mm] - 0| = | [mm] \bruch{2x}{n} [/mm] -0| = [mm] \bruch{2x}{n}
[/mm]
also
[mm] ||f_n [/mm] - [mm] 0||_\IR [/mm] = [mm] \infty [/mm] für jedes [mm] n\in \IN
[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Danke,
Anna
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> Hallo,
>
> und wenn ich nun die Funktionenfolge
> [mm]f_n[/mm] : [mm]\IR \to \IR[/mm] , [mm]f_n(x)[/mm] := [mm]\bruch{2x}{n}[/mm]
> untersuche, dann bekomme ich folgende Ergebnisse raus:
> Die Folge konvergiert punktweise gegen die konstante
> Nullfolge.
Hallo,
die Funktionenfolge [mm] (f_n) [/mm] konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion, denn für jedes x ist die Folge [mm] (f_n(x)) [/mm] eine Nullfolge.
> Aber die Folge ist nicht gleichmäßig konvergent gegen die
> Nullfolge,
> denn [mm]|f_n(x)[/mm] - 0| = | [mm]\bruch{2x}{n}[/mm] -0| = [mm]\bruch{2x}{n}[/mm]
> also
> [mm]||f_n[/mm] - [mm]0||_\IR[/mm] = [mm]\infty[/mm] für jedes [mm]n\in \IN[/mm]
Ja, so ist es.
Angenommen, es würde [mm] (f_n) [/mm] glm gegen 0 kovergieren.
Zu [mm] \varepsilon [/mm] >0 gäbe es dann ein N so, daß für alle [mm] n\ge [/mm] N [mm] \bruch{2x}{n}=|f_n(x) [/mm] - [mm] 0|<\varepsilon [/mm]
für jedes beliebige [mm] x\in \IR [/mm] richtig wäre.
Dann müßte das auch an der Stelle [mm] x=n*\varepsilon [/mm] stimmen. Also wäre [mm] 2\varepsilon<\varepsilon. [/mm] Widerspruch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Angela,
> die Funktionenfolge [mm](f_n)[/mm] konvergiert punktweise gegen die
> Nullfunktion, denn für jedes x ist die Folge [mm](f_n(x))[/mm] eine
> Nullfolge.
Ja genau. Nullfunktion meinte ich auch.
> Angenommen, es würde [mm](f_n)[/mm] glm gegen 0 kovergieren.
>
> Zu [mm]\varepsilon[/mm] >0 gäbe es dann ein N so, daß für alle [mm]n\ge[/mm]
> N [mm]\bruch{2x}{n}=|f_n(x)[/mm] - [mm]0|<\varepsilon[/mm]
> für jedes beliebige [mm]x\in \IR[/mm] richtig wäre.
>
> Dann müßte das auch an der Stelle [mm]x=n*\varepsilon[/mm] stimmen.
> Also wäre [mm]2\varepsilon<\varepsilon.[/mm] Widerspruch.
Stimmt, so kann man sich das auch noch mal verdeutlichen. Danke!!
Gruß,
Anna
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Hallo,
jetzt habe ich hier allerdings eine Funktionfolge, die mir etwas
mehr Probleme macht.
[mm] f_n [/mm] : [0,1] [mm] \to \IR [/mm] , [mm] f_n(x):=\begin{cases} -\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n}x & \mbox{für } 0 \le x \le \bruch{1}{2} \\ 0, & \mbox{für } \bruch{1}{2}
Ich meine, dass [mm] (f_n) [/mm] gleichm. konvergent ist. Aber ich komme nicht auf
die Grenzfunktion.
Für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \bruch{1}{2} [/mm] strebt [mm] -\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n}x [/mm] doch gegen x für n gegen
unendlich?
Danke für Tipps,
Anna
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> [mm]f_n[/mm] : [0,1] [mm]\to \IR[/mm] , [mm]f_n(x):=\begin{cases} -\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n}x & \mbox{für } 0 \le x \le \bruch{1}{2} \\ 0, & \mbox{für } \bruch{1}{2}
>
> Ich meine, dass [mm](f_n)[/mm] gleichm. konvergent ist. Aber ich
> komme nicht auf
> die Grenzfunktion.
> Für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le \bruch{1}{2}[/mm] strebt
> [mm]-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n}x[/mm] doch gegen x für n gegen
> unendlich?
Hallo,
nein.
Für ein festes [mm] x\in [/mm] [0,1/2] ist doch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n}x) =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-1+2x}{n}=0.
[/mm]
Die Grenzfunktion ist also die Nullfunktion.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
auf die Nullfunktion bin ich auch gerade gekommen und wollte es
hier reinschreiben, aber Du warst schneller
Denn für [mm]x\in[/mm] [mm] [0,\bruch{1}{2}] [/mm] gilt für jedes n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] |f_n(x) [/mm] - 0| = [mm] (-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n}x)=\bruch{-1+2x}{n}
[/mm]
und für [mm] x\in ]\bruch{1}{2},1] [/mm] ist [mm] |f_n(x)-0|=0
[/mm]
Somit ist [mm] (||f_n-0||)_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge und
[mm] (f_n) [/mm] konvergiert gegen die Nullfunktion.
Danke,
Anna
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> Denn für [mm]x\in[/mm] [mm][0,\bruch{1}{2}][/mm] gilt für jedes n [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm]|f_n(x)[/mm] - 0| =
> [mm](-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n}x)=\bruch{-1+2x}{n}[/mm],
... und somit ist für jedes [mm] x\in[/mm][/mm] [mm][0,\bruch{1}{2}] der Grenzwert \limes_{n\rightarrow\infty}|f_n(x)[/mm] - 0| [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-1+2x}{n}=0.
[/mm]
> und für [mm]x\in ]\bruch{1}{2},1][/mm] ist [mm]|f_n(x)-0|=0[/mm]
Also konvergiert [mm] (f_n(x)) [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] [0,1] gegen 0, dh. [mm] (f_n) [/mm] konvergiert punktweise gegen
> die Nullfunktion.
Nun ist ja noch zu zeigen, daß die Konvergenz gleichmäßig ist.
Hierfür ist zu zeigen, daß [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\parallel f_n-0\parallel=\limes_{n\rightarrow\infty}\parallel f_n\parallel=0 [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Angela,
ich danke Dir für deine Hilfe!
Gruß,
Anna
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