punktweise und glm kvgz < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Do 15.07.2010 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | 1. [mm] f_n: \|R [/mm] -> [mm] \|R, [/mm] x-> [mm] exp(-n(x^2+1))
[/mm]
2. [mm] g_n: \|R [/mm] -> [mm] \|R, [/mm] x -> [mm] (x+1/n)^2
[/mm]
3. [mm] h_n: \|R [/mm] -> [mm] \|R, [/mm] x -> (nx)/(1+|nx|). |
Hallo,
ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und dabei ist mir die Frage aufgekommen, wo genau der Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz liegt.
Ist die punktweise Kvgz die Konvergenz einer Funktion, wie wir sie sonst kennen (zB aus der Schule)?
Ich weiß, dass man glm Konvergenz durch [mm] |f_n-f|=0 [/mm] zeigt, nur wie zeige ich zunächst punktweise konvergenz und dann gleichmäßige und was muss ich dann für Vorraussetzungen beachten die ggf aus der punktweisen Kinvergenz folgen?
Ich habe die oben stehenden Funktionen mal genommen, da mir die Vorgehensweise um zu zeigen, ob die glm kvgt nicht ganz klar ist, vielleicht könnt ihr mir an denen ein bisschen weiter helfen?!
Vielen Dank schon einmal im Voraus.
Grüße,
Ben
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Do 15.07.2010 | | Autor: | DesterX |
Hi Peano,
ich hab dazu mal diesen Beitrag verfasst, vielleicht hilft das ja schon weiter:
https://matheraum.de/read?i=193332
Viele Grüße, Dester
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Do 15.07.2010 | | Autor: | gfm |
> 1. [mm]f_n: \|R[/mm] -> [mm]\|R,[/mm] x-> [mm]exp(-n(x^2+1))[/mm]
>
> 2. [mm]g_n: \|R[/mm] -> [mm]\|R,[/mm] x -> [mm](x+1/n)^2[/mm]
>
> 3. [mm]h_n: \|R[/mm] -> [mm]\|R,[/mm] x -> (nx)/(1+|nx|).
> Hallo,
> ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und dabei ist
> mir die Frage aufgekommen, wo genau der Unterschied
> zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz liegt.
>
> Ist die punktweise Kvgz die Konvergenz einer Funktion, wie
> wir sie sonst kennen (zB aus der Schule)?
>
> Ich weiß, dass man glm Konvergenz durch [mm]|f_n-f|=0[/mm] zeigt,
> nur wie zeige ich zunächst punktweise konvergenz und dann
> gleichmäßige und was muss ich dann für Vorraussetzungen
> beachten die ggf aus der punktweisen Kinvergenz folgen?
>
> Ich habe die oben stehenden Funktionen mal genommen, da mir
> die Vorgehensweise um zu zeigen, ob die glm kvgt nicht ganz
> klar ist, vielleicht könnt ihr mir an denen ein bisschen
> weiter helfen?!
Gleichmäßige Konvergenz bedeutet anschaulich Folgendes:
Sei f(x) die Grenzfunktion einer Funktionenfolge [mm] f_n(x). [/mm]
Nun mache aus dem Graph von f(x) zwei weitere, in dem Du [mm] f_{\pm\epsilon}(x):=f(x)\pm\epsilon [/mm] betrachtest. [mm] f_{\pm\epsilon}(x) [/mm] definieren einen "[mm]\epsilon[/mm]-Schlauch" um den Graphen von f(x). Zu einem gegebenen x definieren [mm] f_{\pm\epsilon}(x) [/mm] die y-Werte, die von f(x) nicht weiter als [mm] \epsilon [/mm] entfernt sind. Zeichne Dir das mal wirklich auf.
So und nun denke Dir die Graphen von [mm] f_n(x) [/mm] auch noch eingezeichnet. Wenn nun zu jedem [mm] \epsilon [/mm] es eine Nummer [mm] n(\epsilon) [/mm] gibt, sodaß für alle [mm] n>n(\epsilon) [/mm] die Grahphen der [mm] f_n(x) [/mm] im [mm]\epsilon[/mm]-Schlauch um f(x) herum liegen, dann sagt man, dass die Funktionenfolge glm. konvergiere.
Es kann dann nicht passieren, auch nicht punktuell, dass ein [mm] f_n(x) [/mm] mit [mm] n>n(\epsilon) [/mm] bei festgehaltenem n "zu weit" von f(x) abweicht (eben mehr als das [mm] \epsilon), [/mm] wenn man x laufen läßt.
Diese gleichmäßige Annähern an die Grenzfunktion führt dann dazu, dass sich Eigenschaften der Folgenglieder auf den Grenzwert übertragen.
Bei der konkreten Untersuchung könntest wie folgt vorgehen: Du startest mit [mm] f_n(x) [/mm] und suchst den punktweisen Limes [mm] f(x):=\limes_{n\to\infty}f_n(x). [/mm] "Punktweise" deswegen, weil man sich diese Rechnung für jeden Punkt "x" separat durchgeführt denkt.
Dabei muss Du für die punktweise Grenzfunktion f(x) zeigen, dass [mm] |f(x)-f_n(x)| [/mm] beliebig klein gemacht werden kann, wenn man nur n hinreichend groß wählt. Formelmäßig bedeutet das, dass man eine Abschätzung [mm] |f(x)-f_n(x)|<\epsilon [/mm] hinbekommt, sobald [mm] n>n_0(\epsilon,x). [/mm] I.A. wird das [mm] n_0, [/mm] wie auch angedeutet, von x abhängen. Wenn ein von x unabhängiges [mm] n_0 [/mm] existiert, liegt glm. Konvergenz vor:
[mm]f_n(x)=e^{-n(x^2+1)}[/mm] geht für jedes [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]n\to\infty[/mm] gegen null. [mm]|0-e^{-n(x^2+1}|=|e^{-n(x^2+1}|=\left(\frac{1}{e^{x^2+1}}\right)^n=r(x)^n[/mm] mit einem [mm]0-\frac{\ln(\epsilon)}{x^2+1}[/mm], d.h. unser [mm]n_0[/mm] kann als [mm]n_0(\epsilon,x):=-\frac{\ln(\epsilon)}{x^2+1}[/mm] (in Verbindung mit [mm]n\in\IN[/mm]) gewählt werden. Läßt man nun [mm]x^2[/mm] weg, also [mm]n_0(\epsilon,x)':=-\ln\epsilon[/mm] so gilt [mm]n_0'\ge n_0[/mm]. Wählt man [mm]n>n_0'[/mm] so ist [mm]n[/mm] noch größer und [mm]|0-e^{-n(x^2+1}|<\epsilon[/mm] ist weiterhin erfüllt, was bedeutet, dass ab einem [mm]n>-\ln\epsilon[/mm] alle [mm]f_n(x)[/mm] in einem "globalen" [mm]\epsilon[/mm]-Schlauch um [mm]f(x)[/mm] herum liegen, egal welches [mm]x[/mm] man nimmt. D.h. es liegt sogar glm. Konvergenz vor.
LG
gfm
|
|
|
|
