quadatische und kubische Konv. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Wollte fragen, ob mir jemand erklären kann,
was quadratische und kubische Konvergenz bedeutet
und wie man nachweisen kann,
ob etwas quadratisch oder kubisch konvergiert?
Kann mir jemand vielleicht ein Bsp. geben
(sind zur Zeit am Newtonverfahren und seinen Modifikationen)?
Vielen Dank schon mal!
MfG
Mario
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Hallo Mario!
*stolz* meine erste Antwort in diesem Forum... 
Also, wir sind glaube ich noch nicht beim Newtonverfahren, aber das muss wohl in der nächsten oder übernächsten Vorlesung drankommen. Und da der Begriff der quadratischen Konvergenz bei uns schon gefallen war, dachte ich, ich gucke doch mal im Skript nach.
Hier also unsere Definition der Konvergenzordnung:
Eine konvergente Folge [mm] \{x_k\}_{k\in\IN} [/mm] in [mm] \IR^n [/mm] mit dem Grenzwert [mm] x^{*} [/mm] hat die Konvergenzordnung p, falls für ein [mm] k_0\in\IN [/mm] für alle [mm] k\gek_0 [/mm] die Abschätzung
[mm] ||x_{k+1}-x^{*}||\le c||x_k-x^{*}||^p
[/mm]
gilt, wobei 0<c<1 falls p=1, und [mm] 0
Weiter steht dann noch etwas, das ich mal weglasse. Aber für p=1 spricht man von linearer Konvergenz, bei p=2 von quadratischer, und ich vermute dann mal, dass man unter kubischer versteht, dass p=3.
Alles andere kannst du dir mal selber durchlesen, hier der Link zum Skript (ich finde es übrigens ganz gut!): Prama-Skript
Vorstellen tue ich mir das mit der Konvergenzordnung so, dass etwas schneller oder langsamer konvergiert. Es kann ja sein, dass du ganz viele Iterationsschritte benötigst, bis du siehst, dass dein Ding konvergiert. Dann ist die Konvergenzordnung relativ klein. Also, je höher die Konvergenzordnung umso schneller die Konvergenz. Das steht aber auch im Skript, und da steht auch ein Beispiel und auch ein Satz, der dir vielleicht weiterhilft. Ich habe mir das noch nicht so genau angeguckt.
Übrigens steht das auf Seite 82f.
Viele Spaß beim Lesen 
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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