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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Do 14.03.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | 1)Bestimme die Signatur der mit A= [mm] \pmat{ 1 & 1+i \\ 1-i & 1 }
[/mm]
assoziierten hermiteschen Form [mm] h_A [/mm] (v,w)= [mm] v^{\*} [/mm] A w auf [mm] \IC^2
[/mm]
2) Analog für
[mm] \pmat{ 1 & 2+i & -i \\ 2-i& 9 & 1-2i\\i&1+2i&1 } [/mm] |
1)
q (v,w) = [mm] \vektor{x \\ y}^{\*} \pmat{ 1 & 1+i \\ 1-i & 1 } \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \pmat{\overline{x} & \overline{y} } \pmat{ 1 & 1+i \\ 1-i & 1 } \vektor{x \\ y} =\overline{x}x [/mm] + [mm] \overline{y} [/mm] y + (1+i) [mm] \overline{x} [/mm] y + (1-i) [mm] \overline{y} x=(\overline{x+ (1+i)y})(x+ [/mm] y*(1+i)) - [mm] \overline{y} [/mm] y
-> Signatur (1,1)
2)
[mm] q(v,w)=\pmat{\overline{x} & \overline{y} & \overline{z} } \pmat{ 1 & 2+i & -i \\ 2-i& 9 & 1-2i\\i&1+2i&1 } \vektor{x \\ y \\z}= \pmat{\overline{x} + (2-i) \overline{y} + \overline{z} i &\overline{x} (2+i) + \overline{y}*9 + \overline{z} (1+2i) & -\overline{x}i + (1-2i) \overline{y} + \overline{z}} \vektor{x \\ y \\z} [/mm] = [mm] \overline{x}x [/mm] + (2-i) [mm] \overline{y}x [/mm] + [mm] \overline{z} [/mm] i x + [mm] \overline{x} [/mm] (2+i) y+ [mm] \overline{y}*9y [/mm] + [mm] \overline{z} [/mm] (1+2i)y + [mm] -\overline{x}i [/mm] z + (1-2i) [mm] \overline{y} [/mm] z+ [mm] \overline{z}z [/mm] = [mm] [\overline{x+(2+i)y}][x+(2+i)y] [/mm] - 5 [mm] \overline{y} [/mm] y $ [mm] +\overline{z} [/mm] $ i x + + $ [mm] \overline{y}\cdot{}9y [/mm] $ + $ [mm] \overline{z} [/mm] $ (1+2i)y + $ [mm] -\overline{x}i [/mm] $ z + (1-2i) $ [mm] \overline{y} [/mm] $ z+ $ [mm] \overline{z}z [/mm] $
= [mm] [\overline{x+(2+i)y - iz}][x+(2+i)y-iz] [/mm] + [mm] 4\overline{y} [/mm] y [mm] +\overline{z} [/mm] (1+2i)y + (-2i+1) y [mm] \overline{z} [/mm] = [mm] [\overline{x+(2+i)y - iz}][x+(2+i)y-iz] [/mm] + [mm] 4\overline{y} [/mm] y + 2 [mm] \overline{z} [/mm] y
Wo ist der fehler? dass kann ich nämlich nicht schön auflösen..
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Hallo Lu-,
> 1)Bestimme die Signatur der mit A= [mm]\pmat{ 1 & 1+i \\ 1-i & 1 }[/mm]
>
> assoziierten hermiteschen Form [mm]h_A[/mm] (v,w)= [mm]v^{\*}[/mm] A w auf
> [mm]\IC^2[/mm]
>
> 2) Analog für
> [mm]\pmat{ 1 & 2+i & -i \\ 2-i& 9 & 1-2i\\i&1+2i&1 }[/mm]
> 1)
> q (v,w) = [mm]\vektor{x \\ y}^{\*} \pmat{ 1 & 1+i \\ 1-i & 1 } \vektor{x \\ y}[/mm]
> = [mm]\pmat{\overline{x} & \overline{y} } \pmat{ 1 & 1+i \\ 1-i & 1 } \vektor{x \\ y} =\overline{x}x[/mm]
> + [mm]\overline{y}[/mm] y + (1+i) [mm]\overline{x}[/mm] y + (1-i)
> [mm]\overline{y} x=(\overline{x+ (1+i)y})(x+[/mm] y*(1+i)) -
> [mm]\overline{y}[/mm] y
> -> Signatur (1,1)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2)
> [mm]q(v,w)=\pmat{\overline{x} & \overline{y} & \overline{z} } \pmat{ 1 & 2+i & -i \\ 2-i& 9 & 1-2i\\i&1+2i&1 } \vektor{x \\ y \\z}= \pmat{\overline{x} + (2-i) \overline{y} + \overline{z} i &\overline{x} (2+i) + \overline{y}*9 + \overline{z} (1+2i) & -\overline{x}i + (1-2i) \overline{y} + \overline{z}} \vektor{x \\ y \\z}[/mm]
> = [mm]\overline{x}x[/mm] + (2-i) [mm]\overline{y}x[/mm] + [mm]\overline{z}[/mm] i x +
> [mm]\overline{x}[/mm] (2+i) y+ [mm]\overline{y}*9y[/mm] + [mm]\overline{z}[/mm]
> (1+2i)y + [mm]-\overline{x}i[/mm] z + (1-2i) [mm]\overline{y}[/mm] z+
> [mm]\overline{z}z[/mm] = [mm][\overline{x+(2+i)y}][x+(2+i)y][/mm] - 5
> [mm]\overline{y}[/mm] y [mm]+\overline{z}[/mm] i x + + [mm]\overline{y}\cdot{}9y[/mm]
> + [mm]\overline{z}[/mm] (1+2i)y + [mm]-\overline{x}i[/mm] z + (1-2i)
> [mm]\overline{y}[/mm] z+ [mm]\overline{z}z[/mm]
> = [mm][\overline{x+(2+i)y - iz}][x+(2+i)y-iz][/mm] + [mm]4\overline{y}[/mm]
> y [mm]+\overline{z}[/mm] (1+2i)y + (-2i+1) y [mm]\overline{z}[/mm] =
Es muss doch hier stehen:
[mm][\overline{x+(2+i)y - iz}][x+(2+i)y-iz] + 4\overline{y} y +\red{2}\overline{z}y + \red{2} z \overline{y}[/mm]
> [mm][\overline{x+(2+i)y - iz}][x+(2+i)y-iz][/mm] + [mm]4\overline{y}[/mm] y
> + 2 [mm]\overline{z}[/mm] y
>
> Wo ist der fehler? dass kann ich nämlich nicht schön
> auflösen..
Gruss
MathePower
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