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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Gopal |
Hallo,
ich bin zwar kein Schüler mehr, aber meine Frage betrifft die Schulmathematik:
Ich hospitiere derzeit in einer 9. Klasse. Dort wurden zur näherungsweisen Bestimmung von irrationalen Wurzeln Kettenbrüche behandelt. Schließlich wurde die Frage gestellt, welche Zahl sich hinter folgendem einfachsten Kettenbruch verbirgt:
(1) [mm] g=1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+ ...}}}
[/mm]
durch Äuquivalenzumformung* erhielt man:
(2) [mm] g^{2}-g-1=0
[/mm]
(2) hat offensichtlich zwei Lösungen, nämlich:
[mm] g_{1}=\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] und
[mm] g_{2}=\bruch{1-\wurzel{5}}{2} [/mm]
Die Lösung der Ausgangsgleichung ist aber offensichtlich positiv; es kommt also nur [mm] g_{1} [/mm] als Lösung in Frage. Wie kann das aber sein?
Wenn [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{2} [/mm] Lösungen von (2) sind und (1) [mm] \gdw [/mm] (2), dann
müssten doch [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{2} [/mm] auch Lösungen von (1) sein, oder? Wo liegt hier der Fehler?
Auf etwas Licht ins Dunkel freut sich
Gopal
*
Überlegung: g=1+rest [mm] \gdw [/mm] rest=g-1
[mm] g=1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+ ...}}}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] g=1+\bruch{1}{1+g-1}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] g=1+\bruch{1}{g}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] g^{2}=g+1
[/mm]
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Hi, Gopal,
> (1) [mm]g=1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+ ...}}}[/mm]
> durch Äuquivalenzumformung* erhielt man:
>
> (2) [mm]g^{2}-g-1=0[/mm]
>
> (2) hat offensichtlich zwei Lösungen, nämlich:
>
> [mm]g_{1}=\bruch{1+\wurzel{5}}{2}[/mm] und
> [mm]g_{2}=\bruch{1-\wurzel{5}}{2}[/mm]
>
> Die Lösung der Ausgangsgleichung ist aber offensichtlich
> positiv; es kommt also nur [mm]g_{1}[/mm] als Lösung in Frage. Wie
> kann das aber sein?
>
> Wenn [mm]g_{1}[/mm] und [mm]g_{2}[/mm] Lösungen von (2) sind und (1) [mm]\gdw[/mm]
> (2), dann
> müssten doch [mm]g_{1}[/mm] und [mm]g_{2}[/mm] auch Lösungen von (1) sein,
> oder? Wo liegt hier der Fehler?
> *
> Überlegung: g=1+rest [mm]\gdw[/mm] rest=g-1
>
> [mm]g=1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+ ...}}}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]g=1+\bruch{1}{1+g-1}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]g=1+\bruch{1}{g}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]g^{2}=g+1[/mm]
Da die negative Lösung [mm] g_{2} [/mm] von der zweiten bis zur letzten Zeile eine wahre Aussage ergibt, muss das Problem "zwischen" der ersten und der zweiten Zeile liegen.
Anders gesagt: Die erste und die zweite Gleichung sind nur dann äquivalent, wenn g > 0 ist.
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Do 11.10.2007 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich denke, das Problem liegt hier :
> Die Lösung der Ausgangsgleichung ist aber offensichtlich
> positiv;
wieso ist das offensichtlich ?
Wenn " ... " in (1) negtiv ist, bleibt g negativ und es ist überhaupt kein Widerspruch vorhanden.
Der "Widerspruch" entsteht im Kopf (bzw. rührt von der Schreibweise her), dass man g von oben nach unten betrachtet, aber von unten nach oben ausrechnet, wobei das Ausrechnen so eine Sache ist, wenn man keinen Anfang hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Fr 12.10.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Sax,
> > Die Lösung der Ausgangsgleichung ist aber offensichtlich
> > positiv;
>
> wieso ist das offensichtlich ?
Nu, dann musst Du aber schon erklären, wieso ein Kettenbruch (rechte Seite!), der dadurch entsteht, dass man zu 1 einen positiven (!) Term addiert, eine negative Zahl (g) als Ergebnis möglich sein soll!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Fr 12.10.2007 | | Autor: | Sax |
Hi,
es gibt keinen Grund, anzunehmen, dass der Term positiv ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Sa 13.10.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Sax,
> Hi,
> es gibt keinen Grund, anzunehmen, dass der Term positiv
> ist.
Wo sollte wohl ein Minuszeichen herkommen?!
Aber mal ganz andersrum:
Bekanntermaßen ist die Kettenbruchdarstellung eindeutig, wenn sie konvergiert.
Und im vorliegenden Fall handelt es sich um die Kettenbruchdarstellung für den "goldenen Schnitt".
Schau dazu z.B. mal hier:
![[]](/images/popup.gif) http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/golds.htm
mfG!
Zwerglein
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