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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 Fr 19.04.2013 | | Autor: | tooast |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^k}{3^k}+\bruch{(-1)^k}{2^k} [/mm] = [mm] \bruch{11}{3} [/mm] |
Hey und zwar habe ich folgende Frage.
Ich muss den Grenzwert der oberen quadratischen Reihe berechnen, dabei kommt da heraus, laut wolframalpha.com [mm] \bruch{11}{3}
[/mm]
Und ich habe überhuapt keinen Schimmer warum das so sein könnte.
Mein Grenzwert lautet: [mm] \bruch{6}{5}
[/mm]
Ich habe probiert die Summe zusammenzufassen. dann hätte ich nach zusammenfassen in der Summe [mm] \bruch{1}{6} [/mm] stehen.
Und wenn ich jetzt die formel: [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] anwende, erhalte ich das Ergebnis [mm] \bruch{6}{5} [/mm] als Grenzwert.
Wo ist der Fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo tooast, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^k}{3^k}+\bruch{(-1)^k}{2^k}[/mm] = [mm]\bruch{11}{3}[/mm]
>
> Ich muss den Grenzwert der oberen quadratischen Reihe
> berechnen, dabei kommt da heraus, laut wolframalpha.com
> [mm]\bruch{11}{3}[/mm]
>
> Und ich habe überhuapt keinen Schimmer warum das so sein
> könnte.
>
> Mein Grenzwert lautet: [mm]\bruch{6}{5}[/mm]
>
> Ich habe probiert die Summe zusammenzufassen. dann hätte
> ich nach zusammenfassen in der Summe [mm]\bruch{1}{6}[/mm] stehen.
Wie hast Du das denn zusammengefasst? Das kann ich nicht nachvollziehen.
> Und wenn ich jetzt die formel: [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] anwende,
> erhalte ich das Ergebnis [mm]\bruch{6}{5}[/mm] als Grenzwert.
>
> Wo ist der Fehler?
Das einfachste ist hier:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{2^k}{3^k}+\bruch{(-1)^k}{2^k}\right)=\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{2}{3}\right)^k\;\;\;+\summe_{k=0}^{\infty}\left(-\bruch{1}{2}\right)^k
[/mm]
Beide Teilsummen sind konvergent.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:01 Fr 19.04.2013 | | Autor: | tooast |
Vielen Dank,
Jetzt ist der Groschen gefallen. Ich hatte den Fehler gemacht, dass ich keine Teilsummen gebildet habe.
Ich war so naiv und habe das was in der Summe steht zusammengerechnet.
Also: [mm] \bruch{2^k}{3^k} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^k}{2^k}
[/mm]
Daraus hab ich dann das kleinste gemeinsame Vielfache gebildet:
[mm] \bruch{4^k}{6^k} [/mm] + [mm] \bruch{(-3)^k}{6^k} [/mm] und ausgerechnet enstrepchend [mm] \bruch{1^k}{6^k}
[/mm]
und habe diese [mm] \bruch{1}{6} [/mm] in die Formel [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] eingesetzt...
Naja und jetzt ist mir dann wieder aufgefallen, dass man beide Teilsummen überprüfen muss ob sie konvergent sind, wenn eine davon es nicht wäre, was wäre eigentlich dann?
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Hallo nochmal,
> Jetzt ist der Groschen gefallen. Ich hatte den Fehler
> gemacht, dass ich keine Teilsummen gebildet habe.
Das muss kein Fehler sein.
> Ich war so naiv und habe das was in der Summe steht
> zusammengerechnet.
Aber das geht doch gar nicht!
> Also: [mm]\bruch{2^k}{3^k}[/mm] + [mm]\bruch{(-1)^k}{2^k}[/mm]
>
> Daraus hab ich dann das kleinste gemeinsame Vielfache
> gebildet:
>
> [mm]\bruch{4^k}{6^k}[/mm] + [mm]\bruch{(-3)^k}{6^k}[/mm]
Bis hier ist das noch ok...
> und ausgerechnet
> enstrepchend [mm]\bruch{1^k}{6^k}[/mm]
...und hier krieg ich Schreikrämpfe.
Außer für n=1 gilt im allgemeinen nicht [mm] a^n+b^n=(a+b)^n
[/mm]
So kannst Du nicht zusammenfassen!
> und habe diese [mm]\bruch{1}{6}[/mm] in die Formel [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
> eingesetzt...
>
>
> Naja und jetzt ist mir dann wieder aufgefallen, dass man
> beide Teilsummen überprüfen muss ob sie konvergent sind,
> wenn eine davon es nicht wäre, was wäre eigentlich dann?
Dann müsste man halt anders vorgehen, z.B. die Summe aufspalten in gerade und ungerade k. Dann nämlich kann man die beiden Summanden der Summe(n) doch zusammenfassen.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:54 Fr 19.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Naja und jetzt ist mir dann wieder aufgefallen, dass man
> beide Teilsummen überprüfen muss ob sie konvergent sind,
> wenn eine davon es nicht wäre, was wäre eigentlich dann?
wenn Du weißt, dass die Ausgangsreihe (wo die Summanden "noch nicht
aufgespalten waren") konvergiert, dann kann nur eine der beiden nicht
konvergent sein, wenn die andere es auch nicht ist!
(Allgemein bei [mm] $a_n=b_n+c_n$ [/mm] (für (fast) alle [mm] $n\,$) [/mm] kann es nur so sein, dass eine
der Reihen [mm] $\sum a_n,\;\sum b_n,\ \sum c_n$ [/mm] divergent ist, wenn wenigstens eine der
anderen beiden auch divergent ist. Wenn Du die Konvergenz von zwei der
Reihen bewiesen hast, folgt dann insbesondere auch die der verbleibenden!)
Und betrachte Reihen erstmal als Folgen ihrer Teilsummen, denn dann ist
klar, welche Grenzwertsätze für konvergente Folgen angewendet werden.
Bei Folgen weißt Du doch sicher:
Ist für (fast) alle [mm] $n\,$ [/mm] die Gleichheit [mm] $a_n=b_n+c_n\,$ [/mm] gültig und gilt [mm] $b_n \to [/mm] b [mm] \in \IR$ [/mm] und
[mm] $c_n \to [/mm] c [mm] \in \IR\,,$ [/mm] so folgt [mm] $a_n \to b+c\,.$ [/mm] Ebenso weißt Du: [mm] $a_n \to [/mm] a [mm] \in \IR$ [/mm] und $k [mm] \in \IR$ [/mm] fest liefert [mm] $k*a_n \to k*a\,.$
[/mm]
Deswegen:
Wenn für (fast) alle [mm] $n\,$ [/mm] gilt [mm] $a_n=b_n+c_n$ [/mm] und wenn [mm] $a_n \to [/mm] a$ und [mm] $b_n \to b\,,$ [/mm] so folgt auch die
Konvergenz von [mm] ${(c_n)}_n$ [/mm] mit [mm] $c_n \to c:=a-b\,.$
[/mm]
Grund: Für fast alle [mm] $n\,$ [/mm] ist [mm] $c_n=a_n-b_n=...$ [/mm] und weiter gilt [mm] $...=a_n+(-1)*b_n \to [/mm] a+(-1)*b=a-b$
unter Verwendung der vorangegangenen Sätze!
Derartige Überlegungen musst Du halt anstellen, und Dir dabei auch
klarmachen, ob Du - im Falle der Konvergenz der zugehörigen Folge der
Teilsummen - eine Reihe [mm] $\sum_{n=n_0}^\infty a_n$ [/mm] eben als diese Folge der zugehörigen
Teilsummen benutzt, oder dieses Symbol im Sinne des Grenzwertes
verwendest!
P.S. Übrigens Standardbeispiel:
[mm] $$0=\sum 0=\sum ((-1)^n+(-1)^{n+1})\,,$$
[/mm]
aber weder [mm] $\sum (-1)^n$ [/mm] noch [mm] $\sum (-1)^{n+1}$ [/mm] konvergieren!
Im Sinne der Grenzwerte macht die Gleichheit
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty 0=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n+\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}$$
[/mm]
keinen Sinn, weil schon [mm] $\sum (-1)^n$ [/mm] divergiert:
[mm] $$\lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^N (-1)^n \text{ existiert \red{\textbf{nicht}}!!}$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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