quadratischer Nichtrest < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Di 08.01.2013 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | | Zu zeigen, dass [mm] (\bruch{2}{p})=-1, [/mm] also dass 2 quadratischer Nichtrest modulo p ist. |
Hallo an alle,
ich habe einen Beweis zu der Aufgabe gefunden, diesen allerdings noch nicht vollkommen verstanden. Ich muss den Beweis bis ins kleinste Detail verstanden haben, deshalb schreibe ich ihn hier auf und erläutere in Klammern alles, was ich verstanden habe. Ich würde mich freuen, wenn jemand zu meinen Erklärungen noch einige hinzufügt, dass ich es perfekt verstehe 
Der Beweis ist per Widerspruch und mithilfe des 2. Ergänzungssatzes zum Quadratischen Reziprozitätsgesetz:
Es soll gezeigt werden, dass undendlich viele Primzahlen existieren, die kongruent 3 (mod 8) sind.
(Da der Ergänzungssatz ja besagt, dass [mm] (\bruch{2}{p})=-1 [/mm] wenn [mm] p\equiv [/mm] 3,5 (mod 8) ist)
Um einen Widerspruch zu erlangen wird angenommen, dass nur endlich viele Primzahlen existieren, die kongruent 3 (mod 8) sind.
Seien diese Primzahlen [mm] p=3,p_{2},...,p_{n} [/mm] und sei [mm] N=8p_{2}***p_{n}+3. [/mm]
(p verstehe ich, dass sind einfach endlich viele Primzahlen, beginnend bei 3, also 3,5,7,...,n oder? Wie genau kann ich mir N vorstellen? Wird N immer nur mit einer Primzahl [mm] p_{i} [/mm] multipliziert oder auch mit mehreren?)
Daraus wird geschlussfolgert, dass N>1, ungerade und durch keines der [mm] p_{i} [/mm] teilbar ist. (Wenn ich verstanden hab, wie genau N aufgebaut ist, ist das hier leicht nachzuvollziehen)
Daraus wird wiederum geschlussfolgert, dass N nur Primteiler kongruent 1,3 (mod 8) hat. (Könnte mir das jemand durch Beispiele verdeutlichen? Ich habe schon versucht z.B. (8*5+3 (mod 8) zu berechnen oder 8*5*7+3 (mod 8), allerdings ist beides nur kongruent zu 3 :-S)
Dies widerspricht ja [mm] N\equiv [/mm] 3 (mod 8), was beweist, dass [mm] (\bruch{2}{p})=-1 [/mm] für unendlich viele Primzahlen p. (Kann ich diesen Widerspruch auch mithilfe des 2. Ergänzungssatzes argumentieren? Da [mm] p\equiv [/mm] 3 (mod 8) ja einen quadratischen Nichtrest und [mm] p\equiv [/mm] 1 (mod 8) einen quadratischen Rest, in diesem Zusammenhang, definiert? Oder wie genau erläutere ich den Widerspruch?)
Ich hoffe meine Fragen sind ersichtlich geworden.
Vielen Dank im Voraus, ich warte auf schnelle Hilfe
Viele liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Di 08.01.2013 | | Autor: | meili |
Hallo paula,
> Zu zeigen, dass [mm](\bruch{2}{p})=-1,[/mm] also dass 2
> quadratischer Nichtrest modulo p ist.
> Hallo an alle,
> ich habe einen Beweis zu der Aufgabe gefunden, diesen
> allerdings noch nicht vollkommen verstanden. Ich muss den
> Beweis bis ins kleinste Detail verstanden haben, deshalb
> schreibe ich ihn hier auf und erläutere in Klammern alles,
> was ich verstanden habe. Ich würde mich freuen, wenn
> jemand zu meinen Erklärungen noch einige hinzufügt, dass
> ich es perfekt verstehe
>
> Der Beweis ist per Widerspruch und mithilfe des 2.
> Ergänzungssatzes zum Quadratischen Reziprozitätsgesetz:
>
> Es soll gezeigt werden, dass undendlich viele Primzahlen
> existieren, die kongruent 3 (mod 8) sind.
> (Da der Ergänzungssatz ja besagt, dass [mm](\bruch{2}{p})=-1[/mm]
> wenn [mm]p\equiv[/mm] 3,5 (mod 8) ist)
>
> Um einen Widerspruch zu erlangen wird angenommen, dass nur
> endlich viele Primzahlen existieren, die kongruent 3 (mod
> 8) sind.
> Seien diese Primzahlen [mm]p=3,p_{2},...,p_{n}[/mm] und sei
Vielleicht sollte man besser: "Seien diese Primzahlen [mm]3,p_{2},...,p_{n}[/mm] und ..." schreiben.
> [mm]N=8p_{2}***p_{n}+3.[/mm]
> (p verstehe ich, dass sind einfach endlich viele
> Primzahlen, beginnend bei 3, also 3,5,7,...,n oder? Wie
Ja, endlich viele Primzahlen, aber nur die Primzahlen, die 3 modulo 8 sind:
Also: 3, 11, 19, 43, ...
> genau kann ich mir N vorstellen? Wird N immer nur mit einer
> Primzahl [mm]p_{i}[/mm] multipliziert oder auch mit mehreren?)
Wie N gebildet wird steht ja da: [mm]N=8*p_{2}* \ldots *p_{n}+3.[/mm].
Es werden alle, wie angenommen endlich viele Primzahlen, die 3 modulo 8
erfüllen, ausser 3, miteinander multipliziert, dann noch mit 8 multipliziert
und dazu 3 addiert.
>
> Daraus wird geschlussfolgert, dass N>1, ungerade und durch
> keines der [mm]p_{i}[/mm] teilbar ist. (Wenn ich verstanden hab, wie
> genau N aufgebaut ist, ist das hier leicht
> nachzuvollziehen)
>
> Daraus wird wiederum geschlussfolgert, dass N nur
> Primteiler kongruent 1,3 (mod 8) hat. (Könnte mir das
> jemand durch Beispiele verdeutlichen? Ich habe schon
> versucht z.B. (8*5+3 (mod 8) zu berechnen oder 8*5*7+3 (mod
> 8), allerdings ist beides nur kongruent zu 3 :-S)
5 ist nicht 3 mod 8
7 ist nicht 3 mod 8
Konnte ich durch Beispiele nicht bestätigen:
8*11*19+3=2671675=5*5*67
8*11*19*43+3=71899
>
> Dies widerspricht ja [mm]N\equiv[/mm] 3 (mod 8), was beweist, dass
N [mm] \equiv [/mm] 3 mod 8, so wie N zusammen gesetzt wurde
> [mm](\bruch{2}{p})=-1[/mm] für unendlich viele Primzahlen p. (Kann
> ich diesen Widerspruch auch mithilfe des 2.
> Ergänzungssatzes argumentieren? Da [mm]p\equiv[/mm] 3 (mod 8) ja
> einen quadratischen Nichtrest und [mm]p\equiv[/mm] 1 (mod 8) einen
> quadratischen Rest, in diesem Zusammenhang, definiert? Oder
> wie genau erläutere ich den Widerspruch?)
Wo der Widerspruch liegt, weis ich auch nicht.
Man müsste durch die Konstruktion eine weitere Primzahl, die bei den
angenommen endlich vielen noch nicht dabei war, und 3 modulo 8 ist,
erhalten.
>
> Ich hoffe meine Fragen sind ersichtlich geworden.
> Vielen Dank im Voraus, ich warte auf schnelle Hilfe
>
> Viele liebe Grüße
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Di 08.01.2013 | | Autor: | paula_88 |
Vielen Dank Meili, jetzt ist mir einiges schon deutlicher geworden.
Eine wichtige Frage ist mir jedoch noch offen geblieben, deshalb stelle ich sie hier nochmal deutlich:
Um einen Widerspruch zu erlangen wird ja angenommen, dass nur endlich viele Primzahlen existieren, die kongruent 3 (mod 8) sind.
Seien diese Primzahlen [mm] p=3,p_{2},...,p_{n} [/mm] und [mm] N=8p_{2}***p_{n}+3. [/mm]
Daraus wird geschlussfolgert, dass N>1, ungerade und durch keines der [mm] p_{i} [/mm] teilbar ist.
Daraus wird wiederum geschlussfolgert, dass N nur Primteiler kongruent 1,3 (mod 8) hat.
Kann mir jemand erklären, wieso N dann nur Primteiler kongruent zu 1,3 (mod 8) hat? Wenn ich das wüsste kann ich mir den Beweis zusammenreimen.
Ich hoffe, dass es jemandem auffällt :)
Vielen Dank schon mal!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Mi 09.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
meilihat dir doch gerade ein Bsp gezeigt, dass [mm] 8*p_2*p_3+3=8*11*19=3 [/mm] nicht nur primteiler 1,3mod 8 hat sondern auch 5 hat,
also ist irgendwas an deiner darsteellung des Beweises falsch.
richtig ist dass das produkt der Primzahlen [mm] p_2 [/mm] bis [mm] p_n [/mm] =1mod 8 oder 3 mod 8 ist.
vielleicht zitierst du mal die Stelle, auf die du dich mit dem N nur Primteiler 1,3 mod 8 beziehst.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:54 Mi 09.01.2013 | | Autor: | meili |
Hallo paula,
noch einige Ergänzungen
> Zu zeigen, dass [mm](\bruch{2}{p})=-1,[/mm] also dass 2
> quadratischer Nichtrest modulo p ist.
Ist die Aufgabe vielleicht:
Zu zeigen, dass [mm](\bruch{2}{p})=-1,[/mm] also dass 2
quadratischer Nichtrest modulo p ist für unendlich viele Primzahlen p.
?
Nach dem ![[]](/images/popup.gif) 2. Ergänzungssatz wäre das gezeigt, wenn es
unendlich viele Primzahlen gäbe, die 3 modulo 8 (oder 5 modulo 8) wären.
Es reicht, wenn es unendlich viele Primzahlen gibt, die 3 modulo 8 sind.
> Hallo an alle,
> ich habe einen Beweis zu der Aufgabe gefunden, diesen
> allerdings noch nicht vollkommen verstanden. Ich muss den
> Beweis bis ins kleinste Detail verstanden haben, deshalb
> schreibe ich ihn hier auf und erläutere in Klammern alles,
> was ich verstanden habe. Ich würde mich freuen, wenn
> jemand zu meinen Erklärungen noch einige hinzufügt, dass
> ich es perfekt verstehe
>
> Der Beweis ist per Widerspruch und mithilfe des 2.
> Ergänzungssatzes zum Quadratischen Reziprozitätsgesetz:
>
> Es soll gezeigt werden, dass undendlich viele Primzahlen
> existieren, die kongruent 3 (mod 8) sind.
> (Da der Ergänzungssatz ja besagt, dass [mm](\bruch{2}{p})=-1[/mm]
> wenn [mm]p\equiv[/mm] 3,5 (mod 8) ist)
>
> Um einen Widerspruch zu erlangen wird angenommen, dass nur
> endlich viele Primzahlen existieren, die kongruent 3 (mod
> 8) sind.
> Seien diese Primzahlen [mm]p=3,p_{2},...,p_{n}[/mm] und sei
> [mm]N=8p_{2}***p_{n}+3.[/mm]
> (p verstehe ich, dass sind einfach endlich viele
> Primzahlen, beginnend bei 3, also 3,5,7,...,n oder? Wie
> genau kann ich mir N vorstellen? Wird N immer nur mit einer
> Primzahl [mm]p_{i}[/mm] multipliziert oder auch mit mehreren?)
>
> Daraus wird geschlussfolgert, dass N>1, ungerade und durch
> keines der [mm]p_{i}[/mm] teilbar ist. (Wenn ich verstanden hab, wie
N>1 ,da mindestens N>3.
ungerade: Vielfache von 8 sind gerade, + 3 dann ungerade
durch keins der [mm] $p_i$ [/mm] teilbar, da falls [mm] $p_i$ [/mm] Teiler von N wäre,
müsste sich [mm] $p_i$ [/mm] aus [mm] $N=8*p_{2}* \ldots *p_{n}+3$ [/mm] ausklammern lassen.
Folgendermaßen kommt man dann zu einem Widerspruch:
Auch zu N gibt es eine Primfaktorenzerlegung, wie zu jeder natürlichen Zahl.
Ist N eine Primzahl, ist man fertig, da [mm] N$\equiv$ [/mm] 3 mod 8.
Andernfalls müsste man zeigen,
dass es mindestens einen Primfaktor q von N gibt mit q [mm] $\equiv$ [/mm] 3 mod 8.
> genau N aufgebaut ist, ist das hier leicht
> nachzuvollziehen)
>
> Daraus wird wiederum geschlussfolgert, dass N nur
> Primteiler kongruent 1,3 (mod 8) hat. (Könnte mir das
> jemand durch Beispiele verdeutlichen? Ich habe schon
> versucht z.B. (8*5+3 (mod 8) zu berechnen oder 8*5*7+3 (mod
> 8), allerdings ist beides nur kongruent zu 3 :-S)
>
> Dies widerspricht ja [mm]N\equiv[/mm] 3 (mod 8), was beweist, dass
> [mm](\bruch{2}{p})=-1[/mm] für unendlich viele Primzahlen p. (Kann
> ich diesen Widerspruch auch mithilfe des 2.
> Ergänzungssatzes argumentieren? Da [mm]p\equiv[/mm] 3 (mod 8) ja
> einen quadratischen Nichtrest und [mm]p\equiv[/mm] 1 (mod 8) einen
> quadratischen Rest, in diesem Zusammenhang, definiert? Oder
> wie genau erläutere ich den Widerspruch?)
>
> Ich hoffe meine Fragen sind ersichtlich geworden.
> Vielen Dank im Voraus, ich warte auf schnelle Hilfe
>
> Viele liebe Grüße
Gruß
meili
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> Hallo paula,
> noch einige Ergänzungen
>
> > Zu zeigen, dass [mm](\bruch{2}{p})=-1,[/mm] also dass 2
> > quadratischer Nichtrest modulo p ist.
>
> Ist die Aufgabe vielleicht:
> Zu zeigen, dass [mm](\bruch{2}{p})=-1,[/mm] also dass 2
> quadratischer Nichtrest modulo p ist für unendlich viele
> Primzahlen p.
> ?
Ja, Melli hatte Recht, so ist die genaue Aufgabenstellung.
> Nach dem
> 2. Ergänzungssatz
> wäre das gezeigt, wenn es
> unendlich viele Primzahlen gäbe, die 3 modulo 8 (oder 5
> modulo 8) wären.
> Es reicht, wenn es unendlich viele Primzahlen gibt, die 3
> modulo 8 sind.
>
> > Hallo an alle,
> > ich habe einen Beweis zu der Aufgabe gefunden, diesen
> > allerdings noch nicht vollkommen verstanden. Ich muss den
> > Beweis bis ins kleinste Detail verstanden haben, deshalb
> > schreibe ich ihn hier auf und erläutere in Klammern alles,
> > was ich verstanden habe. Ich würde mich freuen, wenn
> > jemand zu meinen Erklärungen noch einige hinzufügt, dass
> > ich es perfekt verstehe
> >
> > Der Beweis ist per Widerspruch und mithilfe des 2.
> > Ergänzungssatzes zum Quadratischen Reziprozitätsgesetz:
> >
> > Es soll gezeigt werden, dass undendlich viele Primzahlen
> > existieren, die kongruent 3 (mod 8) sind.
> > (Da der Ergänzungssatz ja besagt, dass [mm](\bruch{2}{p})=-1[/mm]
> > wenn [mm]p\equiv[/mm] 3,5 (mod 8) ist)
> >
> > Um einen Widerspruch zu erlangen wird angenommen, dass nur
> > endlich viele Primzahlen existieren, die kongruent 3 (mod
> > 8) sind.
> > Seien diese Primzahlen [mm]p=3,p_{2},...,p_{n}[/mm] und sei
> > [mm]N=8p_{2}***p_{n}+3.[/mm]
> > (p verstehe ich, dass sind einfach endlich viele
> > Primzahlen, beginnend bei 3, also 3,5,7,...,n oder? Wie
> > genau kann ich mir N vorstellen? Wird N immer nur mit
> einer
> > Primzahl [mm]p_{i}[/mm] multipliziert oder auch mit mehreren?)
> >
> > Daraus wird geschlussfolgert, dass N>1, ungerade und durch
> > keines der [mm]p_{i}[/mm] teilbar ist. (Wenn ich verstanden hab,
> wie
> N>1 ,da mindestens N>3.
> ungerade: Vielfache von 8 sind gerade, + 3 dann ungerade
> durch keins der [mm]p_i[/mm] teilbar, da falls [mm]p_i[/mm] Teiler von N
> wäre,
> müsste sich [mm]p_i[/mm] aus [mm]N=8*p_{2}* \ldots *p_{n}+3[/mm]
> ausklammern lassen.
>
> Folgendermaßen kommt man dann zu einem Widerspruch:
> Auch zu N gibt es eine Primfaktorenzerlegung, wie zu jeder
> natürlichen Zahl.
> Ist N eine Primzahl, ist man fertig, da N[mm]\equiv[/mm] 3 mod 8.
Hier verstehe ich leider noch nicht ganz, was der Widerspruch ist. Die Annahme ist ja, dass endlich viele Primzahlen p existieren, mit [mm] p\equiv [/mm] 3 (mod 8). Inwiefern ist es jetzt ein Widerspruch, wenn [mm] N\equiv [/mm] 3 (mod 8)??
>
> Andernfalls müsste man zeigen,
> dass es mindestens einen Primfaktor q von N gibt mit q
> [mm]\equiv[/mm] 3 mod 8.
Kann ich nicht einfach sagen, dass N einen Primfaktor q besitzt, für den 2 quadratischer Nichtrest ist?
>
> > genau N aufgebaut ist, ist das hier leicht
> > nachzuvollziehen)
> >
> > Daraus wird wiederum geschlussfolgert, dass N nur
> > Primteiler kongruent 1,3 (mod 8) hat. (Könnte mir das
> > jemand durch Beispiele verdeutlichen? Ich habe schon
> > versucht z.B. (8*5+3 (mod 8) zu berechnen oder 8*5*7+3
> (mod
> > 8), allerdings ist beides nur kongruent zu 3 :-S)
> >
> > Dies widerspricht ja [mm]N\equiv[/mm] 3 (mod 8), was beweist, dass
> > [mm](\bruch{2}{p})=-1[/mm] für unendlich viele Primzahlen p. (Kann
> > ich diesen Widerspruch auch mithilfe des 2.
> > Ergänzungssatzes argumentieren? Da [mm]p\equiv[/mm] 3 (mod 8) ja
> > einen quadratischen Nichtrest und [mm]p\equiv[/mm] 1 (mod 8) einen
> > quadratischen Rest, in diesem Zusammenhang, definiert? Oder
> > wie genau erläutere ich den Widerspruch?)
> >
> > Ich hoffe meine Fragen sind ersichtlich geworden.
> > Vielen Dank im Voraus, ich warte auf schnelle Hilfe
>
> >
> > Viele liebe Grüße
> Gruß
> meili
Vielen Dank für die Mühen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Fr 18.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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