quadratisches Taylorpolynom < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Fr 07.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
| Aufgabe | Es sei das Problem gestellt die Gleichung [mm] $\frac{e^{-x}}{2+x}=y$ [/mm] für [mm] $-\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}$ [/mm] bei gegebenem y nach x aufzulösen.
Das ist aber expliziet nicht möglich!
Lösen Sie die Aufgabe näherungsweise, indem Sie [mm] $f(x)=\frac{e^{-x}}{2+x}$ [/mm] durch das entsprechende quadratische Taylorpolynom [mm] $p_2(x)$ [/mm] zur Entwicklungstelle a=0 ersetzen und die entsprechende Gleichung [mm] $p_2(x)=y$ [/mm] mittels der vertrauten quadratischen Formel nach x auflösen.
(Welche der beiden Lösungen der quad. Gleichung ist die "richtige"?) |
Hallo allerseits!
Kann mir bitte jemand bei diesem Bsp. helfen?
Ich habe die erste und zweite Ableitung gebildet:
[mm] $f'(x)=\frac{-e^{-x}}{2+x}-\frac{e^{-x}}{(2+x)^2}$
[/mm]
[mm] $f''(x)=\frac{e^{-x}}{2+x}+\frac{2e^{-x}}{(2+x)^2}+\frac{2e^{-x}}{(2+x)^3}$
[/mm]
dann die Entwicklungstelle eingesetzt:
[mm] $f(0)=\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $f'(0)=\frac{-3}{4}$
[/mm]
[mm] $f''(0)=\frac{5}{4}$
[/mm]
dann [mm] $p_2(x)$ [/mm] gebildet:
[mm] $p_2(x)=\frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$
[/mm]
Das kann man ja dann so aufschreiben, oder?
[mm] $\frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}=0$
[/mm]
Und dann in die quadratische Formel einsetzen. Das Problem ist nur, dass der Wert innerhalb der Wurzel negativ wird, also kann ich es nicht ausrechnen. Was mache ich falsch?
Gruß,
bobiiii
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Hallo bobiiii,
> Es sei das Problem gestellt die Gleichung
> [mm]\frac{e^{-x}}{2+x}=y[/mm] für [mm]-\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}[/mm] bei
> gegebenem y nach x aufzulösen.
> Das ist aber expliziet nicht möglich!
>
> Lösen Sie die Aufgabe näherungsweise, indem Sie
> [mm]f(x)=\frac{e^{-x}}{2+x}[/mm] durch das entsprechende
> quadratische Taylorpolynom [mm]p_2(x)[/mm] zur Entwicklungstelle
> a=0.5 ersetzen und die entsprechende Gleichung [mm]p_2(x)=y[/mm]
> mittels der vertrauten quadratischen Formel nach x
> auflösen.
> (Welche der beiden Lösungen der quad. Gleichung ist die
> "richtige"?)
> Hallo allerseits!
>
> Kann mir bitte jemand bei diesem Bsp. helfen?
>
> Ich habe die erste und zweite Ableitung gebildet:
>
> [mm]f'(x)=\frac{-e^{-x}}{2+x}-\frac{e^{-x}}{(2+x)^2}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\frac{e^{-x}}{2+x}+\frac{2e^{-x}}{(2+x)^2}+\frac{2e^{-x}}{(2+x)^3}[/mm]
>
> dann die Entwicklungstelle eingesetzt:
>
> [mm]f(0)=\frac{1}{2}[/mm]
>
> [mm]f'(0)=\frac{-3}{4}[/mm]
>
> [mm]f''(0)=\frac{5}{4}[/mm]
>
> dann [mm]p_2(x)[/mm] gebildet:
>
> [mm]p_2(x)=\frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}[/mm]
>
> Das kann man ja dann so aufschreiben, oder?
>
> [mm]\frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}=0[/mm]
>
> Und dann in die quadratische Formel einsetzen. Das Problem
> ist nur, dass der Wert innerhalb der Wurzel negativ wird,
> also kann ich es nicht ausrechnen. Was mache ich falsch?
>
Das Taylorpolynom ist doch an der Entwicklungsstelle a=0.5 zu bilden.
> Gruß,
> bobiiii
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Fr 07.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo!
Tut mir leid, dass war ein Tippfehler. Es sollte a=0 stehen.
Gruß,
bobiiii
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Fr 07.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst das doch für beliebiges y auflösen , du hast nur raus, dass es für y=0 keine x gibt.
also [mm] p_2(x)=y [/mm] x=...
dann kannst du fesstellen für welche y das geht.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Fr 07.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo!
Danke für den Hinweis!
> du sollst das doch für beliebiges y auflösen , du hast
> nur raus, dass es für y=0 keine x gibt.
> also [mm]p_2(x)=y[/mm] x=...
> dann kannst du fesstellen für welche y das geht.
Also kann ich einfach irgendeinen Wert für y nehmen? Also jene die innerhalb des Intervalls liegen. Soll ich dann einfach -0.5 und 0.5 in f(x) einsetzen, weil dann hätte ich ja schon zwei Werte für y.
Welches y ist aber dann sinnvoll wenn ich mehrere hab?
Gruß,
bobiiii
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Hallo bobiiii,
> Hallo!
>
> Danke für den Hinweis!
>
> > du sollst das doch für beliebiges y auflösen , du hast
> > nur raus, dass es für y=0 keine x gibt.
> > also [mm]p_2(x)=y[/mm] x=...
> > dann kannst du fesstellen für welche y das geht.
>
> Also kann ich einfach irgendeinen Wert für y nehmen? Also
> jene die innerhalb des Intervalls liegen. Soll ich dann
> einfach -0.5 und 0.5 in f(x) einsetzen, weil dann hätte
> ich ja schon zwei Werte für y.
> Welches y ist aber dann sinnvoll wenn ich mehrere hab?
>
Löse erstmal die Gleichung auf,
dann bekommst Du eine Bedingung für das y.
für die mindestens eine Lösung gibt.
> Gruß,
> bobiiii
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Fr 07.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo!
Danke für die Antwort!
> Löse erstmal die Gleichung auf,
> dann bekommst Du eine Bedingung für das y.
> für die mindestens eine Lösung gibt.
Welche Gleichung soll ich lösen? $ [mm] \frac{e^{-x}}{2+x}=y [/mm] $ ?
Und soll ich es durch einsetzen von 0.5 und -0,5 lösen?
Wie kann ich dann eine Bedingung für y rauslesen?
Gruß,
bobiiii
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Hallo bobiiii,
> Hallo!
>
> Danke für die Antwort!
>
> > Löse erstmal die Gleichung auf,
> > dann bekommst Du eine Bedingung für das y.
> > für die mindestens eine Lösung gibt.
>
> Welche Gleichung soll ich lösen? [mm]\frac{e^{-x}}{2+x}=y[/mm] ?
Nein.
Die Gleichung [mm]p_{2}\left(x\right)=y[/mm] ist nach x aufzulösen.
> Und soll ich es durch einsetzen von 0.5 und -0,5 lösen?
Nein.
Setze für y erstmal keinen bestimmten Wert ein.
> Wie kann ich dann eine Bedingung für y rauslesen?
>
Für eine quadratische Gleichung gibt es eine Lösungsformel.
Entscheidend dafür, daß es reelle Lösungen gibt,
ist die Diskriminante (der Ausdruck unter der Wurzel).
> Gruß,
> bobiiii
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Fr 07.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo!
> Setze für y erstmal keinen bestimmten Wert ein.
>
>
> > Wie kann ich dann eine Bedingung für y rauslesen?
> >
>
>
> Für eine quadratische Gleichung gibt es eine
> Lösungsformel.
> Entscheidend dafür, daß es reelle Lösungen gibt,
> ist die Diskriminante (der Ausdruck unter der Wurzel).
Also soll ich einfach irgendeinen Wert für y nehmen, also z.B 2 ?
Ich verstehe einfach nicht, was für ein y Wert genommen werden muss und wieso. Es kann am Ende ja nur eine Lösung geben?
Gruß,
bobiiii
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Hallo bobiiii ,
bisher scheint dir noch nicht ganz klar zu sein, um was
es genau geht.
Zwar hast du mal den richtigen Term für das Taylor-
polynom aufgestellt, nämlich:
$ [mm] p_2(x)=\frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2} [/mm] $
Doch was tust du dann ? Dein nächster Schritt:
$ [mm] \frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}=0 [/mm] $
Aber: wozu in aller Welt schreibst du jetzt diese
Gleichung hin ???
Das kann nur Gedankenlosigkeit bedeuten - aus dem
einfachen Grund, dass du bei einem quadratischen Term
gleich an das schematische Auflösen quadratischer
Gleichungen denkst, weil du quadratische Terme wohl
einfach erst in diesem Zusammenhang kennen gelernt
hast.
Ja, wir wollen ja schon eine Gleichung auflösen, aber
nicht diese !
Wir brauchen das Taylorpolynom [mm] p_2 [/mm] , um die Funktion
f durch eine etwas einfachere Funktion anzunähern:
$\ f(x)\ [mm] \approx\ p_2(x)\ [/mm] =\ [mm] \frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$
[/mm]
Anstelle der eigentlich zu lösenden Gleichung y=f(x)
betrachten wir nun die , für genügend nahe an 0 liegende
x-Werte ausreichende Ersatzgleichung:
$y\ =\ [mm] p_2(x)\ [/mm] =\ [mm] \frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$
[/mm]
Die nun zu lösende Gleichung ist also nicht
$ [mm] \frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\ [/mm] =\ 0 $
sondern $ [mm] \frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\ [/mm] =\ y $
bzw. $ [mm] \frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+(\frac{1}{2}-y)\ [/mm] =\ 0 $
So, jetzt dist wieder du dran !
LG
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Fr 07.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo Al-Chw.,
Danke für diese ausführliche Antwort.
> Die nun zu lösende Gleichung ist also nicht
>
> [mm]\frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\ =\ 0[/mm]
>
> sondern [mm]\frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\ =\ y[/mm]
>
> bzw.
> [mm]\frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+(\frac{1}{2}-y)\ =\ 0[/mm]
Was für einen Wert, oder welche Werte kann/muss ich aber jetzt für y nehmen? Das will mir einfach nicht in den Kopf.
Gruß,
bobiiii
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> Hallo Al-Chw.,
>
> Danke für diese ausführliche Antwort.
>
> > Die nun zu lösende Gleichung ist also nicht
> >
> > [mm]\frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\ =\ 0[/mm]
> >
> > sondern [mm]\frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\ =\ y[/mm]
>
> > bzw. [mm]\frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+(\frac{1}{2}-y)\ =\ 0[/mm]
>
> Was für einen Wert, oder welche Werte kann/muss ich aber
> jetzt für y nehmen? Das will mir einfach nicht in den
> Kopf.
>
> Gruß,
> bobiiii
Du musst keinen konkreten Zahlenwert einsetzen, sondern
das y in der Gleichung drin lassen. Wir haben jetzt also
eine quadratische Gleichung der Form $\ [mm] A*x^2+B*x+C\ [/mm] =\ 0$
mit
$\ A\ =\ [mm] \frac{5}{8} \qquad [/mm] B\ =\ [mm] -\frac{3}{4} \qquad [/mm] C\ =\ [mm] \frac{1}{2}-y$
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Fr 07.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Verstehe! Danke!
> Du musst keinen konkreten Zahlenwert einsetzen, sondern
> das y in der Gleichung drin lassen. Wir haben jetzt also
> eine quadratische Gleichung der Form [mm]\ A*x^2+B*x+C\ =\ 0[/mm]
Wie kann ich jetzt aber dann diese Gleichung mit der quadratischen Lösung nach x auflösen? Mit y kann ich ja nicht rechnen, oder irre ich mich?
Gruß,
bobiiii
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> Verstehe! Danke!
>
> > Du musst keinen konkreten Zahlenwert einsetzen, sondern
> > das y in der Gleichung drin lassen. Wir haben jetzt
> also
> > eine quadratische Gleichung der Form [mm]\ A*x^2+B*x+C\ =\ 0[/mm]
>
> Wie kann ich jetzt aber dann diese Gleichung mit der
> quadratischen Lösung nach x auflösen? Mit y kann ich ja
> nicht rechnen, oder irre ich mich?
>
> Gruß,
> bobiiii
Gesucht ist doch eine Formel, nach der du dann, wenn
du einen (geeigneten) Zahlenwert für y hättest, den
dazu gehörigen x-Wert (näherungsweise) berechnen
könntest.
Es ist also ganz natürlich, dass das y als Variable
vorläufig in der Formel drin bleibt.
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Fr 07.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Tut mir Leid, ich verstehe es einfach nicht.
> [mm] $\frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+(\frac{1}{2}-y)\ [/mm] =\ 0$
Wenn ich jetzt diese Gleichung habe, muss ich ja x mittels einer quadratischen Gleichung berechnen. Deshalb bräuchte ich aber auch einen y-Wert. Mir ist aber nicht klar was für eine Zahl ich jetzt für y verwenden kann. Oder wie ich auf diese Zahl für den y-Wert kommen kann.
Gruß,
bobiiii
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> Tut mir Leid, ich verstehe es einfach nicht.
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> > [mm]\frac{5}{8}x^2-\frac{3}{4}x+(\frac{1}{2}-y)\ =\ 0[/mm]
>
> Wenn ich jetzt diese Gleichung habe, muss ich ja x mittels
> einer quadratischen Gleichung berechnen.
Hallo bobi,
du hast deine Frage unter "Hochschule / Analysis / ..."
hier reingestellt.
Darf man davon ausgehen, dass dir die Lösungsformel
für quadratische Gleichungen (von gewissen Leuten
mit mittlerem bis schwerem Mathe-Komplex als
"Mitternachtsformel" bezeichnet) bekannt ist ?
Du musst einfach in diese Formel einsetzen und
dann noch etwas vereinfachen.
Es empfiehlt sich sehr, dies zuerst zu tun. Konkrete
Zahlenwerte für y kannst du dann einsetzen. Zum
Anfangen schlage ich dir dann dazu Werte in der
Gegend um 0.5 herum vor ...
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Fr 07.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo!
Danke! Ich glaub ich habs mir selbst kompliziert gemacht...
Also ja, ich hab schon Probeweise für y den Wert 1 genommen und der eine x-Wert war innerhalb des gegebnen Intervalls.
Nur noch eine letzte Frage.
Wie oft muss ich jetzt aber einen y-Wert in die Funktion einsetzen, also wie oft muss ich die x-Werte ausrechnen?
Gruß,
bobiiii
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> Hallo!
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> Danke! Ich glaub ich habs mir selbst kompliziert
> gemacht...
> Also ja, ich hab schon Probeweise für y den Wert 1
> genommen und der eine x-Wert war innerhalb des gegebnen
> Intervalls.
> Nur noch eine letzte Frage.
> Wie oft muss ich jetzt aber einen y-Wert in die Funktion
> einsetzen, also wie oft muss ich die x-Werte ausrechnen?
Guten Abend !
eigentlich ist für jeden y-Wert am Ende nur eine Rechnung
nötig.
Was aber noch zu leisten ist: du musst dir klar machen,
welcher der beiden x-Werte, welche die Lösungsformel
liefert, der richtige für das vorliegende Problem ist.
Ferner wäre es noch nötig, zu untersuchen, in welchem
Bereich die Approximation via Taylorpolynom einigermaßen
brauchbar ist.
LG, Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:03 Sa 08.12.2012 | | Autor: | bobiiii |
Guten Abend!(obwohl es schon ziemlich spät ist  )
Danke für diese ausführlich Hilfe!
Danke nochmals an alle die versucht haben mir alles näher zu bringen!
Gruß,
bobiiii
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