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rationale Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:24 So 14.09.2008
Autor: nunu

Hallo ihr
Ich komme mit dieser einen Aufgabe leider nicht klar. Wäre net wenn mir jemand helfen könnte :-)
Und zwar geht es um folgende Aufgabe:
[mm] [mm] \bruch{2x^3+x^2-4kx-3k}{x^4} [/mm]
Zeige, dass sich alle Funktionsgraphen im Punkt P [mm] \bruch{-3}{4}/ \bruch{8}{9} [/mm] schneiden und berechne den Winkel [mm] \alpha [/mm] unter dem sich die Graphen f0 und f-1 schneiden.

Heißt das jetzt das ich einfach den x wert also [mm] \bruch{-3}{4} [/mm] einsetze und dann muss  das herraus kommen bruch{8}{9}?
Aber wie berechne ich denn den Winkel
Dann steht da noch ein Teilerergebnis angegeben und zwar :
[mm] -2bruch{x^3+x^2-6kx-6k}{x^4} [/mm]
Wie kommt man dadrauf und was soll mir das helfen?
Und dann wäre da noc hdie Aufgabe b:
Prüfe, ob es eine Stelle x0 gibt, an der alle Funktionsgraphen von fk dieselbe Steigung haben
Hm ja wenn mir jemand helfen würde, wie ich vll anfangen könnte wäre das sehr nett
Danke shcon mal im Vorraus



        
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rationale Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 So 14.09.2008
Autor: Steffi21

Hallo,

1. Teil: setzt du [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] in deine Funktion ein, so stellst du fest, im Zähler steht +3k-3k, also unabhängig von k, du erhälst [mm] \bruch{-\bruch{54}{64}+\bruch{9}{16}}{\bruch{81}{256}}=-\bruch{8}{9} [/mm]

2. Teil: du hast zwei Funktionen für k=0 und k=-1, setzte k=0 bzw. k=-1 in die Funktion ein, berechne von beiden Funktionen die Schnitstelle, bzw. die 1. Ableitung an dieser Stelle, somit kommst du dann an den Winkel,

3. Teil: überprüfe z.B. ob alle Funktionen an der gleichen Stelle ein Maximum haben, ist das der Fall, so haben alle Funktionen an dieser Stelle den gleichen Anstieg 0,

Steffi


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rationale Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:10 So 14.09.2008
Autor: nunu

Hm ja also zu Teil 1 hab ich schon mal eine Frage und  zwar kommt da wenn ich das mit meinem TI VOyage 200 ausrechne etwas anderes heraus und zwar:

[mm] \bruch{-8*(96k+128kx+9)}{81} [/mm] herraus, wie kann ich den da jetzt schließen das da [mm] \bruch{-8}{9} [/mm] herraus kommt?


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rationale Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:27 So 14.09.2008
Autor: Steffi21

Hallo, rechne den 1. Teil ohne Taschenrechner

[mm] f(-\bruch{3}{4})=\bruch{2x^{3}+x^{2}-4kx-3k}{x^{4}}=\bruch{2*(-\bruch{27}{64})+\bruch{9}{16}-4k*(-\bruch{3}{4})-3k}{\bruch{81}{256}} [/mm]

[mm] =\bruch{-\bruch{54}{64}+\bruch{9}{16}+3k-3k}{\bruch{81}{256}}=\bruch{-\bruch{54}{64}+\bruch{36}{64}}{\bruch{81}{256}}=\bruch{-\bruch{18}{64}}{\bruch{81}{256}} [/mm]

[mm] =-\bruch{18}{64}*\bruch{256}{81}=-\bruch{8}{9} [/mm]

Steffi

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rationale Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:29 So 14.09.2008
Autor: nunu

ja okay das klingt logisch aber den 2 teile verstheh ich noch nicht
ich setez für k 0 ein und bestimme dqavon dann die ableitung und dann?

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rationale Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 So 14.09.2008
Autor: Steffi21

Hallo, du hast doch zwei Funktionen

für k=0: [mm] f_0(x)=\bruch{2x^{3}+x^{2}}{x^{4}} [/mm]

für k=-1: [mm] f_1(x)=\bruch{2x^{3}+x^{2}+4x+3}{x^{4}} [/mm]

aus Teil 1 ist dir ja bekannt, alle Funktionen schneiden sich an der Stelle [mm] x=-\bruch{3}{4}, [/mm] berechne zunächst von beiden Funktionen die Ableitung, dann jeweils [mm] f'(-\bruch{3}{4}), [/mm] dann kannst du über den Tangens die Winkel berechnen,

Steffi

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rationale Funktion: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:11 So 14.09.2008
Autor: nunu

kannst du mir das nochmal mit dem Tangenz erklären?
Danke schon mal für deine ganze Hilfe



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rationale Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:30 So 14.09.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nunu,

wie wäre es umgekehrt, wenn du mal nachschlagen würdest, wie die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels lautet.

Falls du damit trotzdem nicht weiterkommen solltest, poste die Formel samt deinen Versuchen, dann wird dir sicher jemand helfen.

Aber alles für dich rechnen, nee.

Du sollst das ja lernen ;-)

Also ...

LG

schachuzipus

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rationale Funktion: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:20 So 14.09.2008
Autor: nunu

Kann mir mal jemand sagen, ob dies die RIchtige Formel ist, weil bei mir kommen da am Ende total komische Zahlen raus
und zwar tan [mm] \bruch{27648}{33653} [/mm]

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rationale Funktion: Deine Rechnung?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 So 14.09.2008
Autor: Loddar

Hallo nunu!


Das ist keine Formel, welche Du hier angibst, sondern lediglich ein Zahlenterm.

Die Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden kannst Du z.B. []hier nachlesen.

Was hast Du denn gerechnet bzw. wie bist Du auf Dein Ergebnis gekommen?


Gruß
Loddar


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Bezug
rationale Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:33 So 14.09.2008
Autor: nunu

    [mm] \tan \alpha [/mm] := [mm] \left|\frac{m_2 - m_1}{1+m_1m_2}\right| [/mm]
Mit der Formel habe ich ja auch gerechnet
und da kam das kommische ergebnis bei mir raus
ich habe gerechnet:
[mm] \bruch{\bruch{\bruch{1120}{81}}-\bruch{32}{27}}{1+\bruch{1120}{81}*\bruch{32}{27}} [/mm]

Habe ic hdenn da richtig eingesetzt
Die Zahlen habe ich über die beiden Ableitungen bekommen [mm] f0(x)=\bruch{-2*(x+1)}{x^3} [/mm]
Und [mm] f-1(x)=\bruch{-2*(x+1)*(x^2+6)}{x^5} [/mm]
Und für x habe ich dann [mm] \bruch{-3}{4} [/mm] eingesetzt
ist das richtig?


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rationale Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 So 14.09.2008
Autor: Steffi21

Hallo,

[mm] m_1=\bruch{32}{27} [/mm] und [mm] m_2=\bruch{1120}{81} [/mm] sind korrekt

jetzt noch den Winkel berechnen, etwas Bruchrechnung,

[mm] tan(\alpha)=\bruch{27648}{33653} [/mm] hattest du ja vorhin schon, aber mathematisch falsch aufgeschrieben,
Steffi

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Bezug
rationale Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 So 14.09.2008
Autor: nunu

also war mein Ergebnis jetzt doch richtig?
also $ [mm] tan(\alpha)=\bruch{27648}{33653} [/mm] $
aber mein taschenrechner sagt dann das das ungefähr 0,01434 ist und das ist doch ein bisschen wenig oder nicht?

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Bezug
rationale Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 So 14.09.2008
Autor: Steffi21

Hallo, bedenke du mußt SHIFT oder INV am Taschenrechner benutzen, Steffi

Bezug
                                                                                                                
Bezug
rationale Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 So 14.09.2008
Autor: nunu

hm
ich hab den TI voyage 200 noch nicht so lange
ich verstehe nicht was du meinst

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
rationale Funktion: arctan(...)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 So 14.09.2008
Autor: Loddar

Hallo nunu!


Du musst auf den Wert $0.8216_$ die Umkehrfunktion des [mm] $\tan(...)$ [/mm] anwenden: den [mm] $\arctan(...)$ [/mm] .

Du dagegen hast auf den o.g. Wert nochmals den [mm] $\tan(...)$ [/mm] angewandt.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                                                                
Bezug
rationale Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 So 14.09.2008
Autor: nunu

ist es richtig das da 39.4052 grad rauskommt?

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
rationale Funktion: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 So 14.09.2008
Autor: Loddar

Hallo nunu!


Das habe ich auch erhalten [ok] .


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
rationale Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 So 14.09.2008
Autor: nunu

oh das freut mich aber :-)
eine kurze frage hab ich aber noch warum muss ich den mit tan^-1 rechnen
und nicht nur mit tangenz

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
rationale Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 So 14.09.2008
Autor: steppenhahn

Hallo!

Du hast diese Gleichung:

[mm] \tan(\alpha) [/mm] = 0.8216

Und du willst sie ja eigentlich nach [mm] \alpha [/mm] umstellen, weil du [mm] \alpha, [/mm] den Winkel, wissen willst. Auf der linken Seite steht aber nicht [mm] \alpha, [/mm] sondern [mm] \tan(\alpha). [/mm] Man wendet jetzt also auf beiden Seiten der Gleichung eine Umformung (so wie zum Beispiel beide Seite mit 7 multilplizieren oder von beiden Seiten die Wurzel bestimmen etc..) an, sodass das [mm] "\tan" [/mm] links vor dem [mm] \alpha [/mm] verschwindet. Dazu müssen wir die Umkehrfunktion des Tangens - den Arcustangens [mm] (\arctan, [/mm] auch bekannt als [mm] \tan^{-1}) [/mm] verwenden. Denn es gilt:

[mm] \arctan(\tan(\alpha)) [/mm] = [mm] \alpha [/mm]

(genauso wie zum Beispiel das Quadrat die Umkehrfunktion von der Wurzel ist und eben gilt: [mm] (\wurzel{x})^{2} [/mm] = x).
D.h. wir wenden den [mm] \arctan [/mm] auf beiden Seiten an und nun steht da:

[mm] \tan(\alpha) [/mm] = 0.8216
[mm] \gdw \arctan(\tan(\alpha)) [/mm] = [mm] \arctan(0.8216) [/mm]
[mm] \gdw \alpha [/mm] = [mm] \arctan(0.8216) [/mm]

Deswegen musst du von der Zahl den [mm] \arctan [/mm] bestimmen, um [mm] \alpha [/mm] herauszubekommen :-)

Stefan.

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
rationale Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 So 14.09.2008
Autor: nunu

eine Frage hab ich noch und zwar woher weiß ich was m1 und m2 ist?
Ich habe die beiden Werte im Zähler jetzt einfach mal vertauscht und schon kommt da ja etwas ganz anderes heraus

Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
rationale Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 So 14.09.2008
Autor: steppenhahn

Hallo!

Eigentlich kann es nicht sein, dass da was verschiedenes rauskommt. Es ist

[mm] \tan(\alpha) [/mm] = [mm] \left|\bruch{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}*m_{2}}\right| [/mm]

und wenn ich [mm] m_{1} [/mm] und [mm] m_{2} [/mm] alles vertausche:

[mm]\tan(\alpha) = \left|\bruch{m_{1}-m_{2}}{1+m_{2}*m_{1}}\right| = \left|\bruch{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}*m_{2}}\right| = \left|\bruch{(-1)*\left(m_{2}-m_{1}\right)}{1+m_{1}*m_{2}}\right| =|(-1)|*\left|\bruch{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}*m_{2}}\right| = \left|\bruch{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}*m_{2}}\right|[/mm]

und hat damit genau denselben Wert wie oben...
wenn du allerdings den Betrag in deiner Rechnung nicht hast, können verschiedene Ergebnisse herauskommen. :-)
Eigentlich wählt man die Steigungen aber auch immer so, dass [mm] m_{2}-m_{1}, [/mm] also der Zähler positiv ist [mm] \Rightarrow [/mm] Also [mm] m_{2}>m_{1}. [/mm]

Stefan.

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