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Forum "Sonstiges" - rationale Zahlen...
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rationale Zahlen...: wurzel 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:32 Sa 10.07.2010
Autor: m4rio

hallo,


kann mir mal kurz jemand erklären, warum [mm] \wurzel{2} [/mm] keine rationale zahl ist?


[mm] \wurzel{2} [/mm]

=2

[mm] =\bruch{2}{1} [/mm]

...

        
Bezug
rationale Zahlen...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:39 Sa 10.07.2010
Autor: reverend

Hallo m4rio,

klar kann das jemand. Ich würde []Euklid von Alexandrien befragen oder den Beweis bei []Wikipedia nachschlagen.

Grüße
reverend


Bezug
                
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rationale Zahlen...: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 03:00 Sa 10.07.2010
Autor: m4rio

puhh, steig ich leider nicht ganz durch...



Bezug
                        
Bezug
rationale Zahlen...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 05:20 Sa 10.07.2010
Autor: angela.h.b.


> puhh, steig ich leider nicht ganz durch...
>
>  

Hallo,

und was sollen wir mit dieser Information machen? Die Frage ist nicht sehr konkret.

Hast Du Dir den Beweis der Irrationalität angeschaut?

Dann mach doch mal vor, wie weit Du folgen kannst und erkläre, an welcher Stelle Du weshalb ins Stocken gerätst.

Gruß v. Angela

Bezug
        
Bezug
rationale Zahlen...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:37 Sa 10.07.2010
Autor: ms2008de

Hallo,
> hallo,
>
>
> kann mir mal kurz jemand erklären, warum [mm]\wurzel{2}[/mm] keine
> rationale zahl ist?
>  
>
> [mm]\wurzel{2}[/mm]
>  
> =2
>  

Seit wann gilt das denn??? Du meinst doch hoffentlich wohl [mm] \wurzel{2}^2 [/mm] bzw. [mm] \wurzel{2^2}=2 [/mm]

Viele Grüße

Bezug
                
Bezug
rationale Zahlen...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:31 Sa 10.07.2010
Autor: m4rio

ohh,

ich meinte natürlich

[mm] =\pm{2} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
rationale Zahlen...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:26 Sa 10.07.2010
Autor: angela.h.b.


> ohh,
>  
> ich meinte natürlich
>
> [mm]=\pm{2}[/mm]  

Hallo,

Du sprichst in Rätseln.

Vielleicht könntest Du nochmal klar und deutlich sagen, wer oder was Deiner Ansicht nach  [mm] =\pm [/mm] 2 ist.

Gruß v. Angela


Bezug
        
Bezug
rationale Zahlen...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:37 Sa 10.07.2010
Autor: Marcel

Hallo,

> hallo,
>
>
> kann mir mal kurz jemand erklären, warum [mm]\wurzel{2}[/mm] keine
> rationale zahl ist?
>  
>
> [mm]\wurzel{2}[/mm]
>  
> =2
>  
> [mm]=\bruch{2}{1}[/mm]
>  
> ...

da steht Unsinn. Zudem gilt [mm] $\sqrt{2}\not=\pm \sqrt{2}$ [/mm] und im allgemeinen ist auch [mm] $\sqrt{a^2} \not=-|a|\,,$ [/mm] sondern [mm] $\sqrt{a^2}=|a|$ [/mm] für jedes $a [mm] \in \IR\,.$ [/mm]

Den Beweis, dass [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] irrational ist, kann man so beginnen:
Angenommen, es wäre [mm] $\sqrt{2}=p/q$ [/mm] mit einem $p [mm] \in \IZ$ [/mm] und $q [mm] \in \IN$ [/mm] (hier $0 [mm] \notin \IN$). [/mm]

Dann können wir annehmen, dass diese Bruchdarstellung in vollständig gekürzter Form vorliegt. Dann folgt aber
[mm] $$p^2=2q^2\,.$$ [/mm]

Weil [mm] $p^2$ [/mm] durch [mm] $2\,$ [/mm] teilbar ist, muss dann auch [mm] $p\,$ [/mm] durch [mm] $2\,$ [/mm] teilbar sein. Dann gilt aber $p=2p'$ mit einem $p' [mm] \in \IZ$ [/mm] und daher
[mm] $$4(p')^2=2q^2$$ [/mm]
bzw.
[mm] $$q^2=2(p')^2\,.$$ [/mm]

Dann ist aber auch [mm] $q^2$ [/mm] durch [mm] $2\,$ [/mm] teilbar und damit auch [mm] $q\,$ [/mm] durch [mm] $2\,$ [/mm] teilbar. Somit sind [mm] $p,q\,$ [/mm] beides gerade Zahlen, was im Widerspruch dazu steht, dass $p/q$ in vollständig gekürzter Darstellung vorliegt.

Beste Grüße,
Marcel

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