rationale funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 So 05.12.2004 | | Autor: | jera |
Hallo zusammen ,
die folgende aufgabe ist keine hausaufgabe sondern ein beispiel mit der aufgabenstellung und deren lösungen aber nicht deren lösungsweg und darin liegt mein problem .
ich habe leider keinen lehrer den ich werde fragen können !
könntet ihr mir hierbei helfen und mir schritt für schritt erklären wie man zu den einzelnen ergebnissen kommt , wäre ich euch echt dankbar ?
x² - 3x + 2
aufgabe : f(x)= --------------
x² + x - 6
1. Definitionsbereich : x² + x - 6 = 0 ; L = ( -3 ; 2) aber wie ?
daraus folgt : Df = R\ (-3;2)
2. Nullstellen: x²- 3x + 2 = 0 ; L = (1 ; 2) daraus folgt: x0 = 1
wieso kann es nur eine nullstelle geben ?
3. Pole: xp = -3 es gibt nur eine Polstelle wieso und wie bestimm ich sie ?
1
4. Grenzwert: lim f(x) f(2) = --- wieso ?
[mm] x\to [/mm] 2 5
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f [/mm] (x) = 1 wieso ?
5.Asymptoten :a = 1 wieso ist a = 1 und x = -3 ?
x = -3
6.Näherungsverhalten: f(x) [mm] \ge [/mm] 0 für x [mm] \le [/mm] -3 und für x [mm] \ge [/mm] 1
f(x) [mm] \le [/mm] 0 für -3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
wie geht man beim näherungsverhalten vor ?
danke schon mal im voraus . jemand sagt mir einmal , mathe sei nur eine einsetzübung . ich würde ihm gerne recht geben !!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
jera
|
|
| |
|
Hallo Jera!
> Hallo zusammen ,
>
> die folgende aufgabe ist keine hausaufgabe sondern ein
> beispiel mit der aufgabenstellung und deren lösungen aber
> nicht deren lösungsweg und darin liegt mein problem .
> ich habe leider keinen lehrer den ich werde fragen können
> !
Das ist ja mal eine nette Einleitung - jetzt wissen wir auch alle Bescheid! 
> könntet ihr mir hierbei helfen und mir schritt für schritt
> erklären wie man zu den einzelnen ergebnissen kommt , wäre
> ich euch echt dankbar ?
>
> x² - 3x + 2
> aufgabe : f(x)= --------------
> x² + x - 6
>
Deine Funktion schreibt sich überigens mit dem Formeleditor folgendermaßen:
[mm] f(x)=\bruch{x^2-3x+2}{x^2+x-6}
[/mm]
> 1. Definitionsbereich : x² + x - 6 = 0 ; L = ( -3 ; 2) aber
> wie ?
> daraus folgt : Df = R\ (-3;2)
Also, der Defintionsbereich muss so sein, dass die Funktion überall dort definiert ist. Ein Bruch ist aber nicht definiert, wenn der Nenner gleich 0 ist, also musst du die Nullstellen des Nenners aus dem Definitionsbereich verbannen. Also:
[mm] x^2+x-6=0
[/mm]
das löst du entweder mit der pq-Formel, die dir hoffentlich bekannt ist (?) oder zum Beispiel mit Vieta, dann hättest du:
(x+3)(x-2)=0
somit kannst du die Nullstellen direkt ablesen.
Hilft dir das, oder hast du noch ein Problem damit? Dann frag nochmal nach.
> 2. Nullstellen: x²- 3x + 2 = 0 ; L = (1 ; 2) daraus folgt:
> x0 = 1
> wieso kann es nur eine nullstelle geben ?
Also, wenn du 1 und 2 in die Gleichung einsetzt, erhältst du beide Male 0, es gibt also zwei Nullstellen! (Steht da denn wo, dass es nur eine gibt? Vielleicht ist der Untersuchungsbereich eingeschränkt, sodass die zweite außerhalb dieses Bereichs liegt?) Bei einer quadratischen Funktion erhältst du im reellen immer zwei Nullstellen, es sei denn, es ist eine "doppelte" (z. B. bei [mm] x^2-2x+1=(x-1)(x-1), [/mm] da wären "beide" Nullstellen x=1, also gibt es nur eine).
Mmh, mit dem Rest müsste ich mich erst mal näher beschäftigen, aber ich denke, bis ich die Zeit dazu finde, hat das bestimmt schon jemand anders gemacht.
Ich hoffe, ich konnte dir trotzdem ein kleines bisschen helfen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 So 05.12.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Jara, Hallo Bastiane> Hallo Jera!
>
> > Hallo zusammen ,
> >
> > die folgende aufgabe ist keine hausaufgabe sondern ein
>
> > beispiel mit der aufgabenstellung und deren lösungen aber
>
> > nicht deren lösungsweg und darin liegt mein problem .
> > ich habe leider keinen lehrer den ich werde fragen
> können
> > !
> Das ist ja mal eine nette Einleitung - jetzt wissen wir
> auch alle Bescheid!
>
> > könntet ihr mir hierbei helfen und mir schritt für
> schritt
> > erklären wie man zu den einzelnen ergebnissen kommt ,
> wäre
> > ich euch echt dankbar ?
> >
> > x² - 3x + 2
> > aufgabe : f(x)= --------------
> > x² + x - 6
> >
> Deine Funktion schreibt sich überigens mit dem Formeleditor
> folgendermaßen:
> [mm]f(x)=\bruch{x^2-3x+2}{x^2+x-6}
[/mm]
>
>
> > 1. Definitionsbereich : x² + x - 6 = 0 ; L = ( -3 ; 2)
> aber
> > wie ?
> > daraus folgt : Df = R\ (-3;2)
> Also, der Defintionsbereich muss so sein, dass die Funktion
> überall dort definiert ist. Ein Bruch ist aber nicht
> definiert, wenn der Nenner gleich 0 ist, also musst du die
> Nullstellen des Nenners aus dem Definitionsbereich
> verbannen. Also:
> [mm]x^2+x-6=0
[/mm]
> das löst du entweder mit der pq-Formel, die dir
> hoffentlich bekannt ist (?) oder zum Beispiel mit Vieta,
> dann hättest du:
> (x+3)(x-2)=0
> somit kannst du die Nullstellen direkt ablesen.
> Hilft dir das, oder hast du noch ein Problem damit? Dann
> frag nochmal nach.
>
> > 2. Nullstellen: x²- 3x + 2 = 0 ; L = (1 ; 2) daraus
> folgt:
> > x0 = 1
> > wieso kann es nur eine nullstelle geben ?
> Also, wenn du 1 und 2 in die Gleichung einsetzt, erhältst
> du beide Male 0, es gibt also zwei Nullstellen! (Steht da
> denn wo, dass es nur eine gibt? Vielleicht ist der
> Untersuchungsbereich eingeschränkt, sodass die zweite
> außerhalb dieses Bereichs liegt?) Bei einer quadratischen
> Funktion erhältst du im reellen immer zwei Nullstellen, es
> sei denn, es ist eine "doppelte" (z. B. bei
> [mm]x^2-2x+1=(x-1)(x-1),[/mm] da wären "beide" Nullstellen x=1, also
> gibt es nur eine).
Vorsicht!! 2 ist zwar eine Nullstelle des Zählers, aber keine Nullstelle der Funktion, da 2 nicht zum Definitionsbereich gehört. Es gibt also tatsächlich nur eine Nullstelle von f.
> Mmh, mit dem Rest müsste ich mich erst mal näher
> beschäftigen, aber ich denke, bis ich die Zeit dazu finde,
> hat das bestimmt schon jemand anders gemacht.
> Ich hoffe, ich konnte dir trotzdem ein kleines bisschen
> helfen.
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
|
|
|
| |
|
Bis jetzt hatte Bastiane fast recht:
1. Definitionsbereich: man muss alle "Problemstellen" ausschließen. Hier kommt ein Nenner vor, und ein Nenner darf nie =0 werden, also alle Nenner-Nullstellen bestimmen, und die aus der Definitionsmenge rausscheißen, wie's Bastiane gemacht hat.
2. Nullstellen: ein Bruch wird immer dann =0, wenn der Zählerterm =0 wird (auf eventuelle Sonderfälle geh ich nachher mal ein).
Also auch wieder: p-q-Formel, um die Nullstellen des Zählers zu bestimmen.
Jetzt kommt ein solcher Sonderfall, den Bastiane nicht beachtet hat.
Der Zähler hat die Nullstellen [mm]x_1=1[/mm] , [mm]x_2=2[/mm], und lässt sich somit schreiben als [mm](x-1) \cdot (x-2)[/mm].
Der Nenner hat die Nullstellen [mm]x_1=-3[/mm] , [mm]x_2=2[/mm], und lässt sich somit schreiben als [mm](x+3) [mm] \cdot [/mm] (x-2)[mm].
Und in dieser faktorisierten Form nochmal die Funktion:
[mm]f(x)=\bruch{x^2-3x+2}{x^2+x-6}=\bruch{(x-1) \cdot (x-2)}{(x+3) \cdot (x-2)}[/mm].
Der Linearfaktor (x-2) lässt sich also rauskürzen, und übrig bleibt nur noch die Funktion [mm]f(x)=\bruch{x-1}{x+3}[/mm], welche nur noch eine Nullstelle hat, nämlich [mm]N(1/0)[/mm], und eine Definitionslücke, nämlich [mm]x=-3[/mm], da die andere rausgefallen ist.
Wichtig bei solchen gebrochenrationalen Funktionen: wenn man einen solchen Fall hat, dass Zähler und Nenner gemeinsame Nullstellen haben, dann lassen diese sich rauskürzen (was so leicht nicht mehr gilt, wenn wir in Zähler und Nenner keine ganzrationalen Funktionen mehr haben - aber das hat noch Zeit ).
Mit dieser vereinfachten Funktionm lässt sich nun die Aufgabe recht einfach lösen:
Eine Polstelle hat man immer dort, wo eine Definitionslücke ist. Und hier ist nur noch [mm]x=-3[/mm] als Definitionslücke übriggeblieben.
Normalerweise interessiert man sich noch dafür, ob diese Polstelle einen Vorzeichenwechsel (Vzw) besitzt, oder nicht. D.h., ob sie links und rechts dieser Lücke beide Male 'in dieselbe Richtung' geht (also links und recht entweder nach [mm]+ \infty[/mm], oder beide Male nach [mm]- \infty[/mm]. Hier hat man deswegen einen Vzw, weil die zugehörige Nennernullstelle [mm]x=-3[/mm] eine sog. 'ungerade Ordnung' hat, nämlich hoch 1.
Beispiele: [mm](x-2)^2[/mm] hätte gerade Ordnung (2), also kein Vzw.
[mm](x-17)^{23}[/mm] hätte ungerade Ordnung (23), also Vzw.
4. Grenzwerte
Deinen ersten Grenzwert versteh ich nicht. Was genau willst du da zeigen?
Beim zweiten Grenzwert isses so: man schaut hier, wie sich die y-Werte entwickeln, wenn die x-Werte gegen [mm]\infty[/mm] (oder [mm]-\infty[/mm]) gehen.
Hier haben Zähler und Nenner gleichen Grad, d.h. beides sind Funktionen 2. Grades. Also schaut man nur, welchen Vorfaktor der Summand mit der höchsten Hochzahl im Zähler hat (hier 1), und welchen Vorfaktor im Nenner (auch 1). Also gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\bruch{1}{1}=1[/mm]
Anderes Beispiel: [mm]f(x)=\bruch{6x^3+2x-14}{3x^3+2x^2-12x+24}[/mm]
Jeweils Grad 3 im Zähler und Nenner; Vorfaktoren vor'm [mm]x^3[/mm]: im Zähler 6, im Nenner 3 [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\bruch{6}{3}=2[/mm]
5. Asymptoten
Es kann grundsätzlich 2 verschiedene Arten von Asymptoten geben: senkrechte As. (die findet man bei Polstellen), und 'sonstige' (die hängen ab von Zähler- und Nennergrad).
Weil wir unter 4. rausgefunden haben, dass gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=1[/mm], ist y=1 eine waagrechte As., da die Kurve sich für große x-Werte gegen diesen y-Wert 1 bewegt.
6. Näherungsverhalten (???)
Dieser Begriff kommt mir hier zum ersten Mal im Zusammenhang mit der Vorzeichenuntersuchung der Kurve unter.
Ihr schaut hier einfach, wann die Kurve positive y-Wert annimmt (also über der x-Achse verläuft), und wann negative (also unter der x-Achse).
Dafür verwendet man i.a.: Nullstellen, Polstellen, sonstige Asymptoten. Dann macht man sich aus diesen Angaben ne Skizze, und findet so die gesuchte "Vorzeichen-Aufteilung".
Sorry, viel besser geht die Erklärung nicht in einem Stück - ist doch viel zu viel Stoff für eine einzige Übersicht.
Wenn du einzelnen Punkten nochmal Fragen hast, dann stell diese gezielter, damit wir besser auf diesen einen Punkt eingehen können.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 So 05.12.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo zusammen,
> Der Zähler hat die Nullstellen [mm]x_1=1[/mm] , [mm]x_2=2[/mm], und lässt
> sich somit schreiben als [mm](x-1) \cdot (x-2)[/mm].
> Der Nenner
> hat die Nullstellen [mm]x_1=-3[/mm] , [mm]x_2=2[/mm], und lässt sich somit
> schreiben als [mm](x+3) \cdot (x-2)[/mm]
> Und in dieser faktorisierten Form nochmal die Funktion:
> [mm]f(x)=\bruch{x^2-3x+2}{x^2+x-6}=\bruch{(x-1) \cdot (x-2)}{(x+3) \cdot (x-2)}[/mm]
> Der Linearfaktor (x-2) lässt sich also rauskürzen, und übrig bleibt nur noch die Funktion [mm]f(x)=\bruch{x-1}{x+3}[/mm], welche nur noch eine Nullstelle hat, nämlich [mm]N(1/0)[/mm], und eine Definitionslücke, nämlich [mm]x=-3[/mm], da die andere rausgefallen ist.
Die Funktion hat nach wie vor den Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] \ {-3;2}, denn das Kürzen durch x-2 ist nur erlaubt, wenn [mm] x \not= 2 [/mm]. Das muss man auch bei allen weiteren Berechnungen, die man natürllich sinnvoll mit der gekürzten Form durchführt, berücksichtigen.
> Deinen ersten Grenzwert versteh ich nicht. Was genau willst du da zeigen?
Der erste Grenzwert berücksichtigt die Definitionslücke x=2. Dies ist keine Polstelle, sondern eine sogenannte stetigbehebbare Definitionslücke. Die Kurve hat da einfach ein Loch.
Zur Rechnung:
[mm] limes_{x\rightarrow\2} f(x) = \limes_{x\rightarrow\2} \bruch {x^2-3x+2}{x^2+x-6} = limes_{x\rightarrow\2} \bruch{x-1}{x+3} = \bruch {2-1}{2+3} = \bruch {1}{5} [/mm]
Gruß Sigrid
|
|
|
|
