rayleigh-quotient < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe eine Aufgabe mit folgendem Hinweis:
"Betrachten Sie den Rayleigh Quotienten der Standard Basisvektoren."
Was ist denn damit gemeint?
Mit [mm] R_A [/mm] (v) = [mm] \bruch{}{} [/mm] , wo setzt man da Standardbasisvektoren ein?
Ich kann mit dem Hinweis nichts anfangen...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe eine Aufgabe mit folgendem Hinweis:
> "Betrachten Sie den Rayleigh Quotienten der Standard
> Basisvektoren."
>
> Was ist denn damit gemeint?
>
> Mit [mm]R_A[/mm] (v) = [mm]\bruch{}{}[/mm] , wo setzt man da
> Standardbasisvektoren ein?
Für den Vektor v
FRED
> Ich kann mit dem Hinweis nichts anfangen...
|
|
|
| |
|
Aber v ist doch nur ein einziger Vektor. Nicht mehrere Vektoren...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Aber v ist doch nur ein einziger Vektor. Nicht mehrere
> Vektoren...
Lieber Mister Wong,
da Du uns die Aufgabenstellung nicht verrätst (aus welchem Grund auch immer), kann ich mir nur vorstellen, dass man [mm] R_A(e_i) [/mm] berechnen soll für $i=1, ..., n$
FRED
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 Mo 20.04.2009 | | Autor: | MisterWong |
Es geht darum zu zeigen, dass die Diagonaleeinträge einer Matrix immer größer gleich dem kleinsten Eigenwert sind, also:
[mm] \lambda_{min} \le a_{ii}
[/mm]
Der Quotient von [mm] R_A [/mm] (e) sind ja eben immer die Diagonaleinträge. Nur was bringt das hinsichtlich der Aufgabe.
Bzgl. der Standardbasis bekomme ich zwar für den Rayleigh Quotienten tatsächlich immer die [mm] a_{ii} [/mm] raus, doch das bringt mir recht wenig.
oder ich versteh den Rayliegh Quotienten nicht... Normalerweise berchnet man die Eigenwerte dann eben so, dass man für das v z.b. einen vektor x, y einsetzt, sodass man am schluss einen Rayleigh Quotienten mit 2 unbekannten hat. Mit partieller Ableitung und Gleichsetzung kommt man letztendlich auf sein ergebnis.
So weit so gut. Was sagt der Rayleigh Quotient aber jetzt eben zum Beispiel aus, wenn man anstatt (x, y) z.B. (1, 0) einsetzt, also einen Standardvektor?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es geht darum zu zeigen, dass die Diagonaleeinträge einer
> Matrix immer größer gleich dem kleinsten Eigenwert sind,
> also:
>
> [mm]\lambda_{min} \le a_{ii}[/mm]
>
> Der Quotient von [mm]R_A[/mm] (e) sind ja eben immer die
> Diagonaleinträge. Nur was bringt das hinsichtlich der
> Aufgabe.
> Bzgl. der Standardbasis bekomme ich zwar für den Rayleigh
> Quotienten tatsächlich immer die [mm]a_{ii}[/mm] raus, doch das
> bringt mir recht wenig.
>
> oder ich versteh den Rayliegh Quotienten nicht...
> Normalerweise berchnet man die Eigenwerte dann eben so,
> dass man für das v z.b. einen vektor x, y einsetzt, sodass
> man am schluss einen Rayleigh Quotienten mit 2 unbekannten
> hat. Mit partieller Ableitung und Gleichsetzung kommt man
> letztendlich auf sein ergebnis.
>
> So weit so gut. Was sagt der Rayleigh Quotient aber jetzt
> eben zum Beispiel aus, wenn man anstatt (x, y) z.B. (1, 0)
> einsetzt, also einen Standardvektor?
Ich nehme an, A ist symmetrisch. Ich bin nicht im Bilde ob Ihr folgendes hattet:
Für den kleinsten Eigenwert [mm] \lambda_{min} [/mm] und den größten Eigenwert [mm] \lambda_{max} [/mm] von A gilt:
[mm] \lambda_{min} \le R_A(v) \le \lambda_{max} [/mm] für alle v mit <v.v> = 1
Nimmst Du also für v den i-ten Einheitsvektor, so erhälst Du
[mm] \lambda_{min} \le a_{ii} \le \lambda_{max} [/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Mo 20.04.2009 | | Autor: | MisterWong |
das hatte ich soeben auch raus... jedoch hatten wir auch [mm] \lambda_{min} [/mm] = min [mm] R_A [/mm] (v) . das müsste dann aber hier heißen, dass auf jeden fall ein Eintrag der Diagonale gleichzeitig Eigenwert sein muss. Ist das denn so? Dass bei einer Diagonalmatrix die Einträge Eigenwerte sind ist mir klar, aber dass bei einer beliebigen Matrix mind. ein Eintrag der Diagonale EW ist, ist mir neu... Oder gilt das nur bei einer Symmetrischen Matrix?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> das hatte ich soeben auch raus... jedoch hatten wir auch
> [mm]\lambda_{min}[/mm] = min [mm]R_A[/mm] (v) . das müsste dann aber hier
> heißen, dass auf jeden fall ein Eintrag der Diagonale
> gleichzeitig Eigenwert sein muss. Ist das denn so? Dass bei
> einer Diagonalmatrix die Einträge Eigenwerte sind ist mir
> klar, aber dass bei einer beliebigen Matrix mind. ein
> Eintrag der Diagonale EW ist, ist mir neu... Oder gilt das
> nur bei einer Symmetrischen Matrix?
Da hast Du etwas falsch verstanden !
Es gilt
[mm]\lambda_{min}[/mm] = min [mm]R_A[/mm] (v)
also ex. ein [mm] v_0 [/mm] mit
[mm]\lambda_{min}[/mm] = [mm] R_A (v_0)
[/mm]
[mm] v_0 [/mm] muß aber keiner der Basiseinheitsvektoren sein !
Zu:
> Oder gilt das nur bei einer Symmetrischen Matrix?
Das gilt nicht ! Betrachte
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }
[/mm]
Diese sym. Matrix hat die Eigenwerte -1 und 3
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Mo 20.04.2009 | | Autor: | MisterWong |
OK danke, jetzt ist alles klar!
|
|
|
|
