rechteck max. inhalt in kreis < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | In einem Halbkreis mit r=1 soll ein Rechteck mit maximalem Inhalt einbeschrieben werden, gesucht: Seiten des Rechtecks! |
Hallo,
also ich habe wirklich lange überlegt, bin aber zu keinem Ansatz gekommen, es wäre klasse, wenn ihr mir helfen könntet.
danke im vorraus!
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Hallo!
Hast du wirklich keine Idee ?
Das kann nicht sein. Eine Skizze mit einem Halbkreis drauf hast du doch sicher gemacht.
Nun die erste Überlegung: Es handelt sich ja um eine Schulaufgabe, also können wir wahrscheinlich davon ausgehen, dass die Rechtecksseiten parallel bzw. senkrecht zur Halbkreisseite verlaufen.
Es ist denke ich schnell einzusehen, dass man Rechtecksfläche "verschenkt", wenn man das Rechteck nicht immer ganz bis zum Rand des Halbkreises zeichnet.
Also kommst du zu folgender Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Variablen, welche wir für folgende Extremwertaufgabe wählen, sind x (als halbe Seitenlänge der waagerechten Seite des Rechtecks), und y (das soll die andere, senkrechte Seitenlänge) sein.
Unsere Hauptbedingung (Flächeninhalt des Rechtecks) lautet also wie?
A(x,y) = ...
Nun ist die Frage, wie die Nebenbedingung aussieht. Wir wissen, wenn x einen bestimmten Wert hat, dann ist y eigentlich schon festgelegt, weil ja der obere rechte Punkt des Rechtecks auf dem Kreis liegen muss.
Jetzt eine kleine Hilfsformel, ohne die man hier nur schwer weiter kommt: Die Kreisgleichung für einen Kreis mit Radius 1 wird beschrieben durch
$y = [mm] \sqrt{1-x^{2}}$
[/mm]
Das ist deine Nebenbedingung.
Nun bist du dran!
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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dankeschön!
ich bin mir nicht sicher, aber jetzt einfach A=x/2 * y
und als notwendige Bedingung die Ableitung gleich null setzen? oder wie meinst du das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Di 23.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du x kennst, musst du y daraus rauskriegen, dass es auf dem Kreis liegt! zeichne noch die Verbindung Mitte -Ecke ein und denk an Herrn Pythagoras.
und die Fläche ist 2*x*y , wie kommst du auf x/2?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Mo 31.01.2011 | | Autor: | tomtom10 |
Ich bin bei der gleichen Aufgabe
Das ist mein Ansatz
A(x) = [mm] \wurzel{1-x^2} \* [/mm] 2x
[mm] A'(x)=\bruch{-2x}{2\wurzel{1-x^2}}\* 2x+2\wurzel{1-x^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{-4x^2+(2\wurzel{1-x^2})^2}{2\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
A'(x) = 0, wenn [mm] -8x^2 [/mm] +4 = 0
ist das soweit richtig ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Mo 31.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich bin bei der gleichen Aufgabe
> Das ist mein Ansatz
>
> A(x) = [mm]\wurzel{1-x^2} \*[/mm] 2x
>
> [mm]A'(x)=\bruch{-2x}{2\wurzel{1-x^2}}\* 2x+2\wurzel{1-x^2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-4x^2+(2\wurzel{1-x^2})^2}{2\wurzel{1-x^2}}[/mm]
>
> A'(x) = 0, wenn [mm]-8x^2[/mm] +4 = 0
>
> ist das soweit richtig ?
Ja
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Mo 31.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo tomtom
Ja, deine Lösung ist richtig.
ein "Trick" bei solchen Aufgaben: wenn A(x) maximal ist, dann auch [mm] A^2(x), [/mm] dann muss man keine Wurzeln differenzieren.
Gruss leduart
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