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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 Di 19.07.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Geben Sie den Definitionsbereich- und Wertebreich an. Schränken Sie gegebenfalls den Definitionsbereich so ein, dass die Umkehrfunktion existiert und bestimmen Sie diesen.
[mm] f(y)=\bruch{y}{|y-1|} [/mm] |
Hallo,
ich hab zu dieser Aufgabe einige Fragen.
Hier mein Ansatz:
[mm] f(y)=\bruch{y}{|y-1|}
[/mm]
[mm] D=\IR \backslash \{1\} [/mm] Das wäre meine Lösung.
mein Lehrer hat noch [mm] (-\infty,1] [/mm] u [mm] [1,\infty) [/mm] geschrieben. Muss man das bzw wie kommt man darauf? Ist meine Lösung falsch oder unvollständig?
Ich hab ja die 1 in meiner Lösung ausgeschlossen muss ich dann immer überprüfen ob eine stetig behebbare Definitionslücke vorliegt?
Ich hab das jetzt mal gemacht
[mm] \limes_{y\rightarrow1}\bruch{y}{|y-1|} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1}=1 [/mm] (somit würde eine stetig behebbare/ergänzbare Definitionslücke vorliegen oder?)
Um den Wertebereich zu ermitteln würde ich dann erst einmal die Funktion auf Symmetrie prüfen oder?
Dies ist in diesem Fall nicht der Fall. ( Hab mir den Rechenaufwand dafür hier jetzt einmal gespart) Da die Funktion nicht symmetrisch ist, ist sie automatisch auch nicht injektiv richtig? Ab hier geht nichts mehr weiß jetzt ehrlich gesagt nicht wie ich den Wertebereich bestimmen soll.Wie muss ich weiter vorgehen bzw was habe ich nicht beachtet? Kann man so etwas irgendwo gut nachlesen?
mfg
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> Geben Sie den Definitionsbereich- und Wertebreich an.
> Schränken Sie gegebenfalls den Definitionsbereich so ein,
> dass die Umkehrfunktion existiert und bestimmen Sie
> diesen.
> [mm]f(y)=\bruch{y}{|y-1|}[/mm]
>
> [mm]D=\IR \backslash \{1\}[/mm] Das wäre meine Lösung. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> mein Lehrer hat noch [mm](-\infty,1][/mm] u [mm][1,\infty)[/mm] geschrieben.
Wenn er es wirklich genau so geschrieben hat, ist es
falsch. Das sollte so lauten:
[mm](-\infty,1)\ \cup\ (1,\infty)[/mm]
(mit runden Klammern auch bei der 1, welche besagen,
dass die 1 nicht zu den Intervallen gehört)
> Muss man das bzw wie kommt man darauf?
Müssen tut man dies nicht, falls nicht jemand (z.B.
ein Lehrer) das vorschreibt. Man kann doch aber
den Definitionsbereich, der bei x=1 eine Lücke hat,
so in seine zwei Teile zerlegen.
> Ist meine Lösung falsch oder unvollständig?
Weder noch.
> Ich hab ja die 1 in meiner Lösung ausgeschlossen muss ich
> dann immer überprüfen ob eine stetig behebbare
> Definitionslücke vorliegt?
Wenn nur nach dem Definitionsbereich gefragt war: nein.
> Ich hab das jetzt mal gemacht
> [mm]\limes_{y\rightarrow1}\bruch{y}{|y-1|}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1}=1[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> (somit würde eine stetig behebbare/ergänzbare
> Definitionslücke vorliegen oder?)
Nein; das ist nicht der Fall.
> Um den Wertebereich zu ermitteln würde ich dann erst
> einmal die Funktion auf Symmetrie prüfen oder?
> Dies ist in diesem Fall nicht der Fall. ( Hab mir den
> Rechenaufwand dafür hier jetzt einmal gespart) Da die
> Funktion nicht symmetrisch ist, ist sie automatisch auch
> nicht injektiv richtig? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Falsch. Eine richtige Aussage wäre:
Ist der Graph einer Funktion symmetrisch bezüglich
der y-Achse (oder einer Parallelen dazu), dann ist sie
nicht injektiv.
> Ab hier geht nichts mehr weiß
> jetzt ehrlich gesagt nicht wie ich den Wertebereich
> bestimmen soll.
> Wie muss ich weiter vorgehen bzw was habe
> ich nicht beachtet?
Zeichne dir den Graph doch einmal auf !
(das würde ich bei solchen Beispielen fast immer
vorschlagen)
> Kann man so etwas irgendwo gut nachlesen?
Bestimmt. Einen ganz konkreten geeigneten Tipp
habe ich aber im Moment nicht. Vielleicht wissen
da andere mehr.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Di 19.07.2011 | | Autor: | RWBK |
Danke für deine schnelle antwort. Was ich noch nicht verstanden habe ist, warum keine stetig ergänzbare Definitionslücke vorliegt.
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Di 19.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
weil du dich da verechnet hast. der nenner geht für y gegen eins gegen 0
du hast dort |y-1| 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Di 19.07.2011 | | Autor: | RWBK |
Dann hab ich noch eine Frage. Ich dachte immer man müsste das erst ableiten bis es einen sinnvollen Ausdruck ergibt. z.B wie bei dieser Aufgabe:
f(x) [mm] =\bruch{sin(x)}{x}; D=\IR/\{0\}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{sin(x)}{x}=\bruch{cos(x)}{1}=1 [/mm] , somit liegt eine ergänzbare Definitionslücke vor.Ohje ich glaub ich versteh fast gar nichts aber danke für eure Hilfe.
mfg
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> Dann hab ich noch eine Frage. Ich dachte immer man müsste
> das erst ableiten bis es einen sinnvollen Ausdruck ergibt.
> z.B wie bei dieser Aufgabe:
> f(x) [mm]=\bruch{sin(x)}{x}; D=\IR \{0\}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{sin(x)}{x}=\bruch{cos(x)}{1}=1[/mm]
> , somit liegt eine ergänzbare Definitionslücke vor.
Da beziehst du dich auf den sehr speziellen Fall, wo
sowohl der Zähler als auch der Nenner gegen Null
streben für x gegen [mm] x_0 [/mm] . Das ist aber im Beispiel
deiner Aufgabe nicht so.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Di 19.07.2011 | | Autor: | RWBK |
Danke, habe ich das also richtig verstanden, dass diese Vorgehensweise nur für diesen sehr speziellen Fall gilt wo Zähler und Nenner gegen 0 laufen? Heißt das also das man das ableiten sonst gar nicht anwendet? Wenn ich jetzt noch einmal auf meine Ursprungsaufgabe zurückspringen darf würde das bedeuten, dass ich bei dem Grenzwert [mm] \limes_{y\rightarrow1}\bruch{y}{|y-1|} [/mm] Null als ergebnis raus kommt und somit keine stetig ergänzbare definitionslücke vorliegt? Falls mir jemand ein gutes Buch empfehlen kann bin ich für jeden Tipp zu haben.
Ich bedanke mich bei allen die mir geholfen haben.
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Di 19.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
für y gegen 1 kommt nicht null raus. die null entsteht im nenner und da der zähler gegen 1 läuft hast du sowas wie [mm] "\bruch{1}{0}". [/mm] also geht die Funktion gegen unendlich. (bemerkung: ob plus oder minus unendlich hängt auch davon ab, von welcher seite der nenner gegen null geht. bei dir ist der nenner ummer [mm] \ge [/mm] 0 , deshalb plus unendlich)
was das ableiten von zähler und nenner angeht (vorgehen nach de l'hopital) hast du es richtig verstanden. es ist eigentlich einfach:
zähler gegen null und nenner nicht, dann geht die funktion gegen null
nenner gegen null und zähler nicht, dann geht die funktion gegen plus oder minus unendlich.
andernfalls muss man schauen (ableiten von beidem und das dann prüfen)
bücher wüsste ich jetzt keins, was ich dir da empfehlen könnte, da ich nur die "high-level" bücher aus der uni kenne und die sind denke ich für dich unnötig kompliziert geschrieben. aber bei wikipedia ist denke ich ne gute grundübersicht. ![[]](/images/popup.gif) Wiki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Di 19.07.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo,
wäre der Wertebereich dann hier, W= [mm] (-1,\infty)?
[/mm]
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Di 19.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> wäre der Wertebereich dann hier, W= [mm](-1,\infty)?[/mm]
Ja
FRED
>
> mfg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Di 19.07.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Geben Sie den Definitions- und Wertebereich der folgenden Funktionen
an. Schränken Sie gegebenenfalls den Definitionsbereich so ein, dass die Umkehrfunktion existiert und bestimmen Sie diese.g(u) [mm] =\bruch{u^2+u}{|u|} [/mm] |
Hallo,
hier habe ich nochmal eine Aufgabe des gleichen Typs wo ich mal gar nicht klar komme.
Denn definitionsbereich hab ich noch [mm] D=\IR \not= [/mm] 0. Ab hier ist Schluss. Hab hier mal die Lösung meines Lehreres angegeben und hoffe das mir die vllt mal jemand erklären kann.
F¨ur u < 0 folgt v = g(u) = −u − 1 > −1, sodass das Intervall (−∞, 0) abgebildet wird auf (−1,∞). Stellt man die Gleichung nach u um, so ist u = −v − 1 (< 0),d. h. nach formaler Vertauschung von u und v ist g−1(u) = −(u + 1) f¨ur u > −1.Die Funktion g stimmt daher in diesem Bereich mit ihrer Umlehrfunktion überein lediglich der Definitionsbereich ist bei beiden Funktionen unterschiedlich.
Für u > 0 folgt v = g(u) = u + 1 > 1, d. h. (0,∞) wird auf (1,∞) abgebildet. Der Wertebereich von g ist deshalb ganz R. Stellt man die Funktionsgleichung nach u um, so folgt u = v − 1 (> 1). Es ist daher g−1(u) = u − 1 f¨ur u > 1.
Da die Funktion g nicht injektiv ist, existiert ohne Einschränkung des Definitionsbereichs auch keine Umkehrfunktion.
Ich versteh seine ganze Erklärung bzw. Erläuterung nicht wie kommt er schon allein auf u<0 ....v=g(u)=-u-1>-1.......
Hoffe das kann mir jemand erläutern.
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Di 19.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Du hast
$ g(u) [mm] =\bruch{u^2+u}{|u|} [/mm] $
Fall 1: u>0. Dann ist
$ g(u) [mm] =\bruch{u^2+u}{u} [/mm] =u+1$
Fall 2: u<0. Dann ist
$ g(u) [mm] =\bruch{u^2+u}{-u} [/mm] =-u-1$
Kommst Du jetzt klar ?
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mi 20.07.2011 | | Autor: | RWBK |
Bei dieser Aufgabe hänge ich leider fest.
[mm] g=\wurzel{|u|+1}
[/mm]
[mm] D=\IR
[/mm]
Wertebereich ermitteln:
1. Prüfen der Symmetrie
g(-u)=g(u) ( die zwischen schritte hab ich mir geschenkt)
Da die Funktion symmetrisch/gerade ist, reicht es auch den Wertebereich mittels eines Teilbereiches [mm] (0,\infty) [/mm] zu ermitteln oder?
[mm] g=\wurzel{|u|+1} [/mm] mit [mm] (0,\infty) [/mm] ist streng monoton wachsend oder? Wie ist dann mein Wertebereich von [mm] (0,\infty) [/mm] oder etwa nicht? Mein Lehrer hat da [mm] (1,\infty) [/mm] da komme ich nicht drauf bzw. mir ist nicht klar wie ich auf die eins kommen soll. Ich hab auch immer massive schwierigkeiten mir die Graphen vor zu stellen. Sowas wie [mm] x^{2} [/mm] kann ich mir noch vorstellen aber die aufgabe wie hier nicht. Ich kann ja schlecht in einer Klausur eine ganze Kurvendiskussion durchführen um den graphen zu zeichen. Kann mir da vllt auch noch jemand ein Tipp zu geben?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Mi 20.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bei dieser Aufgabe hänge ich leider fest.
> [mm]g=\wurzel{|u|+1}[/mm]
> [mm]D=\IR[/mm]
O.K.
>
> Wertebereich ermitteln:
> 1. Prüfen der Symmetrie
>
> g(-u)=g(u)
O.K.
> ( die zwischen schritte hab ich mir geschenkt)
> Da die Funktion symmetrisch/gerade ist, reicht es auch den
> Wertebereich mittels eines Teilbereiches [mm](0,\infty)[/mm] zu
> ermitteln oder?
Ja, Du brauchst die Funktion nur für u [mm] \ge [/mm] 0 zu betrachten.
>
> [mm]g=\wurzel{|u|+1}[/mm] mit [mm](0,\infty)[/mm] ist streng monoton wachsend
> oder?
Für u [mm] \ge [/mm] 0 ist [mm]g(u)=\wurzel{u+1}[/mm] streng monoton wachsend
> Wie ist dann mein Wertebereich von [mm](0,\infty)[/mm] oder
> etwa nicht?
Verstehst Du diese Frage ? Ich nicht.
> Mein Lehrer hat da [mm](1,\infty)[/mm] da komme ich
> nicht drauf bzw. mir ist nicht klar wie ich auf die eins
> kommen soll.
Ich hoffe, Dein Lehrer hat für den Wertebereich die Menge [mm][1,\infty)[/mm] angegeben.
Es ist g(0)=1 und [mm] \limes_{u\rightarrow + \infty}g(u)= \infty. [/mm] Da g stetig ist , nimmt g , nach dem Zwischenwertsatz, alle Werte aus [mm][1,\infty)[/mm] an.
> Ich hab auch immer massive schwierigkeiten mir
> die Graphen vor zu stellen. Sowas wie [mm]x^{2}[/mm] kann ich mir
> noch vorstellen aber die aufgabe wie hier nicht. Ich kann
> ja schlecht in einer Klausur eine ganze Kurvendiskussion
> durchführen um den graphen zu zeichen. Kann mir da vllt
> auch noch jemand ein Tipp zu geben?
1. Male den Graphen der Funktion [mm] \wurzel{u} [/mm] für u [mm] \ge [/mm] 0.
2. Verschiebe den obigen Graphen um eine Einheit nach links. Dann bekommst Du den Graphen von [mm] \wurzel{u+1} [/mm] für u [mm] \ge [/mm] -1.
3. Wenn Du den letzten Graphen nur für u [mm] \ge [/mm] 0 betrachtest , hast Du den Graphen von g für u [mm] \ge [/mm] 0 vor der Nase.
4. Nutze die Symmetrie, um den Graphen von g auf [mm] \IR [/mm] zu bekommen.
FRED
>
> mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:56 Di 19.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
schau doch mal bei wikipedia unter kurvendiskussion
gruß bernhard
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