reelles Fundamentalssystem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 So 31.01.2010 | | Autor: | Katrin89 |
| Aufgabe | Allgemeine Frage:
DGL 1. Ordnung, linear gegeben.
Es gibt eine reelle NS des charakt. Polynoms und zwei komplexe (i und die komplex konjugierte -i)
Nun erhalte ich 3 EV für die 3 EW.
Nun habe ich folgende Lösung:
reelle Lösung: [mm] ((1,1,1)*e^t
[/mm]
komplexe Lösung: (-1,-i,1)*e^(it) und (1,-i,1)*e^(-it)
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Hallo,
zu der oben genannten Lösung habe ich 2 Fragen:
1) Kann ich nun die Lösung als Linearkombi aus den 3 Lösungen angeben? Oder darf ich hier komplex und reell nicht vermischen?
2) Ich möchte ein Fundamentalssystem angeben:
Muss dieses unbedingt reell sein? Gibt es komplexe FS? Und gibt es ein FS mit rellen und komplexen Lösungen in den Spalten?
Ich hoffe, ihr versteht was ich meine  Dient hier eher dem Verständnis!
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Katrin89,
> Allgemeine Frage:
> DGL 1. Ordnung, linear gegeben.
> Es gibt eine reelle NS des charakt. Polynoms und zwei
> komplexe (i und die komplex konjugierte -i)
Hier ist wohl ein DGL-System 1. Ordnung gemeint.
> Nun erhalte ich 3 EV für die 3 EW.
> Nun habe ich folgende Lösung:
> reelle Lösung: [mm]((1,1,1)*e^t[/mm]
> komplexe Lösung: (-1,-i,1)*e^(it) und (1,-i,1)*e^(-it)
>
> Hallo,
> zu der oben genannten Lösung habe ich 2 Fragen:
> 1) Kann ich nun die Lösung als Linearkombi aus den 3
> Lösungen angeben? Oder darf ich hier komplex und reell
> nicht vermischen?
Wenn Du das vermischt, hast Du zunächst die komplexe Lösung.
> 2) Ich möchte ein Fundamentalssystem angeben:
> Muss dieses unbedingt reell sein? Gibt es komplexe FS? Und
> gibt es ein FS mit rellen und komplexen Lösungen in den
> Spalten?
In der Regel ist man ja an reellen Lösungen interessiert.
Daher muß das Fundamentalsystem reell sein.
Nun, da die Lösungen des DGL-Systems 1. Ordnung komplex sind,
handelt es sich ja wohl um ein komplexes FS.
Ein komplexes FS, wie hier, kannst Du in ein reelles FS umwandeln.
Betrachte hierzu eine komplexe Lösung des DGL-Systems.
Dann stellen Real- und Imaginärteil dieser Lösung
selbst wieder Lösungen des DGL-Systems dar.
>
> Ich hoffe, ihr versteht was ich meine Dient hier eher
> dem Verständnis!
> Danke!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 So 31.01.2010 | | Autor: | Katrin89 |
| Aufgabe | Die Lösungen sind Lösungen des zugehörigem homogenen Systems.
Dann ist die komplexe Lösung:
[mm] z=c1*(1,1,1)*e^t+c2*(-1-i,1)*e^{it}+c3*(1,-i,1)*e^{-it}
[/mm]
Nun zur Lösung des inhomogenen Systems.
Ersetze c1,c2,c3 durch jeweils eine noch nicht bekannte Funktion c1(t),...
Berechne also : z=z(t)*c(t)
z'=...=z^-1*b(t) |
Danke für deine Antwort. Wie man ein reelles FS bekommt, habe ich verstanden.
Es geht hier um folgendes:
Ich mache hier VdK. Ich möchte nun z^-1 erhalten, also die Inverse zu z berechnen. Dazu habe ich bislang das FS genommen und die Inverse berechnet.
Ich frage mich nun, ob ich jetzt das kompl. FS nehmen kann, um z^-1 zu berechnen oder erst das reelle bestimmen muss?
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Hallo Katrin89,
> Die Lösungen sind Lösungen des zugehörigem homogenen
> Systems.
> Dann ist die komplexe Lösung:
> [mm]z=c1*(1,1,1)*e^t+c2*(-1-i,1)*e^{it}+c3*(1,-i,1)*e^{-it}[/mm]
> Nun zur Lösung des inhomogenen Systems.
> Ersetze c1,c2,c3 durch jeweils eine noch nicht bekannte
> Funktion c1(t),...
> Berechne also : z=z(t)*c(t)
> z'=...=z^-1*b(t)
> Danke für deine Antwort. Wie man ein reelles FS bekommt,
> habe ich verstanden.
> Es geht hier um folgendes:
> Ich mache hier VdK. Ich möchte nun z^-1 erhalten, also die
> Inverse zu z berechnen. Dazu habe ich bislang das FS
> genommen und die Inverse berechnet.
>
> Ich frage mich nun, ob ich jetzt das kompl. FS nehmen kann,
> um z^-1 zu berechnen oder erst das reelle bestimmen muss?
>
Wenn die komplexen Lösungen vorgegeben sind,
dann nimm das komplexe FS.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 So 31.01.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Ich hoffe, die letzte Frage zu dem Thema:
Sind meine 3 Lösungen dann dann die Spalten des FS? Oder nur die komplexen Lösungen?
Danke!
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Hallo Katrin89.
> Ich hoffe, die letzte Frage zu dem Thema:
> Sind meine 3 Lösungen dann dann die Spalten des FS? Oder
> nur die komplexen Lösungen?
> Danke!
Das sind die Lösungen des inhomogenen DGL-Systems.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 So 31.01.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hallo,
dankeschön für deine Hilfe.
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