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| Aufgabe | Wie in der Zeichnung angedeutet, seien s ∈ ℝ die Seitenlänge eines regelmäßigen Fünfecks und d ∈ ℝ die Länge einer Diagonalen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
(a) Zeige, dass die in der Zeichnung mit [mm] \delta [/mm]
bezeichnete Strecke die Länge d − s hat.
(b) Zeige, dass s die Länge einer Diagonalen eines
regelmäßigen Fünfecks mit Seitenlänge d − s ist.
(c) Folgere, dass [mm] \bruch{d}{s} [/mm] = [mm] \bruch{s}{d-s}gilt.
[/mm]
(d) Zeige: Wenn [mm] \bruch{d}{s} \in \IQ [/mm] gilt, dann gibt es
eine reelle Zahl [mm] \lambda [/mm] > 0, sodass [mm] \lambda [/mm] ⋅ d und
[mm] \lambda [/mm] ⋅ s natürliche Zahlen sind.
(e) Zeige, dass [mm] \bruch{d}{s} [/mm] eine irrationale Zahl ist.
(f) Zeige, dass [mm] \bruch{d}{s} [/mm] eine Nullstelle des Polynoms
[mm] X^{2} [/mm] - X - 1 ist und bestimme anschließend [mm] \bruch{d}{s}. [/mm] |
zu a)
BC sei Teil einer weiteren Diagonalen des Fünfecks;
Die Dreicke ABD und EBC sind kongruent zueinenander,
[mm] \Rightarrow \overline{EC} [/mm] = [mm] \overline{DB}
[/mm]
Das Dreieck ABC ist gleichschenklig (muss man das hier auch noch zeigen?) [mm] \Rightarrow [/mm] s = [mm] \overline{AC}
[/mm]
Sei s'= [mm] \overline{AC} \Rightarrow [/mm] s' = s;
d = [mm] \overline{AE} [/mm] = [mm] \underbrace{s'}_{=s} [/mm] + [mm] \underbrace{\overline{CE}}_{=\overline{DB} = \delta};
[/mm]
d= s+ [mm] \delta; \Rightarrow \delta [/mm] = d-s;
zu b)
Muss man hier darüber argumentieren, dass das Dreieck ABE ähnlich zum Dreieck EBC ist?
zu c)
aus a) und b) [mm] \delta [/mm] = d-s [mm] \Rightarrow [/mm] Die Diagonale des kleineren Fünfecks = s (des größeren Fünfecks). Eine Seite des kleineren Fünfecks = [mm] \delta [/mm] (des größeren).
zu d)
Wenn [mm] \bruch{d}{s} \in \IQ \Rightarrow [/mm] d,s [mm] \in \IZ. [/mm] Für alle [mm] \forall \lambda \in \IZ: \lambda [/mm] * d, [mm] \lambda* [/mm] s [mm] \in \IN; (\lambda \in \IR, [/mm] da [mm] \IZ \subseteq \IR)
[/mm]
zu e)
widerspricht das nicht Aufgabe d) [mm] (\bruch{d}{s} \in \IQ)?
[/mm]
aus c): [mm] \bruch{d}{s} [/mm] = [mm] \bruch{s}{d-s} \gdw [/mm] d(d-s) = [mm] s^{2} \Rightarrow d^{2}-ds-s^{2} [/mm] = 0; [mm] \Rightarrow d_{1_{/_{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}s(1+\wurzel{5}); [/mm] Hier kommt ja mit [mm] \wurzel{5} [/mm] eine irrationale Zahl vor. Macht das dann aus dem Bruch [mm] \bruch{d}{s} [/mm] auch eine irrationale Zahl? Führt dann jede Verknüpfung einer rellen Zahl mit einer irrationalen Zahl wieder zu irrationalen Zahl?
zu f) hab ich das nicht schon in e) gemacht?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Sa 15.11.2014 | | Autor: | abakus |
> Wie in der Zeichnung angedeutet, seien s ∈ ℝ die
> Seitenlänge eines regelmäßigen Fünfecks und d ∈ ℝ
> die Länge einer Diagonalen.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> (a) Zeige, dass die in der Zeichnung mit [mm]\delta[/mm]
> bezeichnete Strecke die Länge d − s hat.
>
> (b) Zeige, dass s die Länge einer Diagonalen eines
> regelmäßigen Fünfecks mit Seitenlänge d − s ist.
>
> (c) Folgere, dass [mm]\bruch{d}{s}[/mm] = [mm]\bruch{s}{d-s}gilt.[/mm]
>
> (d) Zeige: Wenn [mm]\bruch{d}{s} \in \IQ[/mm] gilt, dann gibt es
> eine reelle Zahl [mm]\lambda[/mm] > 0, sodass [mm]\lambda[/mm] ⋅ d und
> [mm]\lambda[/mm] ⋅ s natürliche Zahlen sind.
>
> (e) Zeige, dass [mm]\bruch{d}{s}[/mm] eine irrationale Zahl ist.
>
> (f) Zeige, dass [mm]\bruch{d}{s}[/mm] eine Nullstelle des Polynoms
> [mm]X^{2}[/mm] - X - 1 ist und bestimme anschließend
> [mm]\bruch{d}{s}.[/mm]
> zu a)
> BC sei Teil einer weiteren Diagonalen des Fünfecks;
> Die Dreicke ABD und EBC sind kongruent zueinenander,
> [mm]\Rightarrow \overline{EC}[/mm] = [mm]\overline{DB}[/mm]
> Das Dreieck ABC ist gleichschenklig (muss man das hier
> auch noch zeigen?) [mm]\Rightarrow[/mm] s = [mm]\overline{AC}[/mm]
> Sei s'= [mm]\overline{AC} \Rightarrow[/mm] s' = s;
> d = [mm]\overline{AE}[/mm] = [mm]\underbrace{s'}_{=s}[/mm] +
> [mm]\underbrace{\overline{CE}}_{=\overline{DB} = \delta};[/mm]
>
> d= s+ [mm]\delta; \Rightarrow \delta[/mm] = d-s;
>
> zu b)
> Muss man hier darüber argumentieren, dass das Dreieck ABE
> ähnlich zum Dreieck EBC ist?
>
> zu c)
> aus a) und b) [mm]\delta[/mm] = d-s [mm]\Rightarrow[/mm] Die Diagonale des
> kleineren Fünfecks = s (des größeren Fünfecks). Eine
> Seite des kleineren Fünfecks = [mm]\delta[/mm] (des größeren).
>
> zu d)
> Wenn [mm]\bruch{d}{s} \in \IQ \Rightarrow[/mm] d,s [mm]\in \IZ.[/mm] Für
> alle [mm]\forall \lambda \in \IZ: \lambda[/mm] * d, [mm]\lambda*[/mm] s [mm]\in \IN; (\lambda \in \IR,[/mm]
> da [mm]\IZ \subseteq \IR)[/mm]
>
> zu e)
> widerspricht das nicht Aufgabe d) [mm](\bruch{d}{s} \in \IQ)?[/mm]
>
Hallo,
d) sagt ja zunächst nur etwas aus über das Verhältnis irgendwelcher Zahlen d und s, die (abgesehen von der Übereinstimmung ihrer gewählten Bezeichnungen mit Seitenlängen in vorhergehenden Teilaufgaben) nichts mit den Seitenlängen zu tun haben müssen.
> aus c): [mm]\bruch{d}{s}[/mm] = [mm]\bruch{s}{d-s} \gdw[/mm] d(d-s) = [mm]s^{2} \Rightarrow d^{2}-ds-s^{2}[/mm]
> = 0; [mm]\Rightarrow d_{1_{/_{2}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}s(1+\wurzel{5});[/mm] Hier kommt ja mit [mm]\wurzel{5}[/mm]
> eine irrationale Zahl vor. Macht das dann aus dem Bruch
> [mm]\bruch{d}{s}[/mm] auch eine irrationale Zahl? Führt dann jede
> Verknüpfung einer rellen Zahl mit einer irrationalen Zahl
> wieder zu irrationalen Zahl?
Auf alle Fälle ist die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl stets irrational.
>
> zu f) hab ich das nicht schon in e) gemacht?
Im Prinzip, ja.
Weil das bisher weder in der Aufgabenstellung noch in deinen Lösungen Erwähnung fand:
Zwei Diagonalen im regelmäßigen Fünfeck teilen sich im Verhältnis des GOLDENEN SCHNITTES
(einfach mal googeln).
Gruß Abakus
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