regelmäßiges Sechseck < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Betrachten Sie ein regelmäßiges Sechseck mit dem Eckpunkten [mm] P_1,...,P_6, [/mm] wobei [mm] P_1=0, P_2=(\wurzel{3},1,0) [/mm] gegeben seien und [mm] P_3 [/mm] die Bedingung [mm] e_1\perp\overrightarrow{P_2P_3} [/mm] erfülle. Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte [mm] P_3,...,P_6 [/mm] |
[mm] \overrightarrow{P_2P_3}=\vektor{x_1-\wurzel{3} \\ x_2-1\\ x_3}
[/mm]
[mm] e_1*\overrightarrow{P_2P_3}=\vektor{1 \\0\\ 0}*\vektor{x_1-\wurzel{3} \\ x_2-1\\ x_3}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] x_1=\wurzel{3}
[/mm]
wie bestimme ich die anderen koordinaten von [mm] P_3 [/mm] ?
Mein ansatz wäre:
[mm] |\overrightarrow{P_1P_2}|=|\overrightarrow{P_2P_3}|
[/mm]
[mm] \wurzel{4}=\wurzel{(x_2-1)^2+x_3^2}
[/mm]
Hier habe ich aber 1 gleichung und 2 unbekannte. Das hilft mir noch nicht weiter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Sa 16.04.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
auf die Gefahr hin, dass das nichts bringt, aber warum konstruierst du nicht eine Gerade durch den Eckpunkt, die den entsprechenden Winkel (120°) mit dem Vektor zwischen [mm] $P_1 [/mm] $ und [mm] $P_2$ [/mm] hat und zudem noch irgendwie von deinem bereits herausgefundenen Ergebnis abhängt. Vielleicht bringt das was.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Sa 16.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
der winkel zwischen P1P2 und P2P3 muss 60° sein, das gibt deine dritte Gleichung .
Gruß leduart
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Hallo
> der winkel zwischen P1P2 und P2P3 muss 60° sein, das
> gibt deine dritte Gleichung .
müsste der Winkel nicht 120° sein? der Winkel zwischen [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] oder zwischen [mm] P_2 [/mm] und [mm] P_3 [/mm] beträgt 60°
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Sa 16.04.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo
>
> > der winkel zwischen P1P2 und P2P3 muss 60° sein, das
> > gibt deine dritte Gleichung .
>
>
> müsste der Winkel nicht 120° sein? der Winkel zwischen
> [mm]P_1[/mm] und [mm]P_2[/mm] oder zwischen [mm]P_2[/mm] und [mm]P_3[/mm] beträgt 60°
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
Du hast recht, aber du musst sorgfältiger zwischen Punkten und Vektoren unterscheiden.
Der Winkel zwischen den Vektoren [mm] \overrightarrow{P_{2}P_{1}} [/mm] und [mm] \overrightarrow{P_{2}P_{3}} [/mm] beträgt 120°
Den [mm] Ortsvektor $\overrightarrow{0P_{3}}$ [/mm] zum Punkt [mm] $P_{3}$ [/mm] (und damit also de facto die Koordinaten des Punktes [mm] $P_{3}$) [/mm] bekommst du dann mit [mm] $\overrightarrow{0P_{3}}=\overrightarrow{0P_{2}}+\overrightarrow{P_{2}P_{3}}$
[/mm]
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Sa 16.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
leg mal P1P2 und P2P3 in ihren Anfangspunkt aneinader. dann hast du 60° , zwischen P2P1 =-P1P2 und P2P3 sind 120°
Gruß leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 So 17.04.2016 | | Autor: | weduwe |
eine Möglichkeit:
mit z = 0
hat das 6eck den Mittelpunkt M(0/2)
damit kann man die 6 Eckpunkte sofort hinmalen (Drehung um je 60°)
[mm]x_i=2\cdot sin\frac{i\cdot \pi}{3}[/mm]
[mm]y_i=-2\cdot cos\frac{i\cdot\pi}{3}+2[/mm]
mit i = 0..5
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[mm] P_1=0, P_2=(\wurzel{3},1,0)
[/mm]
[mm] e_1*\overrightarrow{P_2P_3}=\vektor{1 \\0\\ 0}*\vektor{x_1-\wurzel{3} \\ x_2-1\\ x_3}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] x_1=\wurzel{3}
[/mm]
Beim regelmäßigen Sechseck sind alle Seiten gleichlang. Die Seitenlänge beträgt:
[mm] |\overrightarrow{P_1P_2}|=\wurzel{4}
[/mm]
Der Winkel zwischen [mm] \overrightarrow{P_1P_2} [/mm] und [mm] \overrightarrow{P_2P_3} [/mm] beträgt 60°. Deshalb gilt:
[mm] |\overrightarrow{P_1P_2}|*|\overrightarrow{P_2P_3}|*cos(60^{\circ})=\overrightarrow{P_1P_2}*\overrightarrow{P_2P_3}
[/mm]
Für die Linke Seite gilt: [mm] |\overrightarrow{P_1P_2}|=|\overrightarrow{P_2P_3}|=\wurzel{4} [/mm] und [mm] cos(60^{\circ})=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \wurzel{4}*\wurzel{4}*\bruch{1}{2}=x_2-1
[/mm]
[mm] x_2=3
[/mm]
Eine Seitenlänge des Sechseck beträgt [mm] \wurzel{4}. [/mm] Deshalb gilt:
[mm] \wurzel{4}=|\overrightarrow{P_2P_3}|
[/mm]
[mm] \wurzel{4}=\wurzel{4+x_3^2}
[/mm]
[mm] x_3=0
[/mm]
Für den Punkt [mm] P_3 [/mm] gilt [mm] P_3=(\wurzel{3},3,0)
[/mm]
Da das Sechseck in der [mm] x_1*x_2-Ebene [/mm] befindet, gilt für alle Punkte [mm] x_3=0
[/mm]
Da sich der Punkt [mm] P_4 [/mm] gegenüber vom Punkt [mm] P_1 [/mm] befindet, gilt [mm] x_1=0 [/mm] für [mm] P_4. [/mm] Kann man das so begründen?
Für die Seite [mm] \overrightarrow{P_3P_4} [/mm] gilt:
[mm] \wurzel{4}=|\overrightarrow{P_3P_4}|
[/mm]
[mm] \wurzel{4}=\wurzel{(-\wurzel{3})^2+(x_2-3)^2}
[/mm]
[mm] \pm\wurzel{1}=3+(x_2-3)^2
[/mm]
[mm] x_2=4 [/mm] oder [mm] x_2=2
[/mm]
Mathematisch sind beide Lösungen richtig, aber für das Sechseck passt nur [mm] x_2=4. [/mm] Kann ich das so begründen?
Für Punkt [mm] p_4 [/mm] gilt [mm] P_4=(0,4,0)
[/mm]
Aus Symmetriegründen gilt für die Punkte [mm] P_5 [/mm] und [mm] P_6:
[/mm]
[mm] P_5=(-\wurzel{3},3,0)
[/mm]
[mm] P_6=(-\wurzel{3},1,0)
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Stimmt die Lösung?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 Mo 18.04.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ganze ist komplett korrekt
Marius
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