rein imaginäre Eigenwerte < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Finde alle 2x2 matrizen A mit rein imaginären Eigenwerten. Wie müssen solche A aussehen, damit die Lösungen des systems X'(t)=AX(t) gegen den Uhrzeigersinn um den Nullpunkt laufen? |
Kann mir jemand Tipps geben wie ich die Aufgaben lösen kann?
Was genau verstehe ich hier unter "rein imaginären Eigenwerten"?
Über Tipps wäre ich sehr dankbar!
Mathegirl
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Hallo Mathegirl.
> Finde alle 2x2 matrizen A mit rein imaginären Eigenwerten.
> Wie müssen solche A aussehen, damit die Lösungen des
> systems X'(t)=AX(t) gegen den Uhrzeigersinn um den
> Nullpunkt laufen?
> Kann mir jemand Tipps geben wie ich die Aufgaben lösen
> kann?
>
Nehme eine Matrix A mit allgemeinen Einträgen,
und bestimme davon das charakteristische Polynom.
> Was genau verstehe ich hier unter "rein imaginären
> Eigenwerten"?
>
Nun, daß die Eigenwerte den Realteil 0 haben
und der Imaginärteil nicht verschwindet.
> Über Tipps wäre ich sehr dankbar!
>
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Okay, ich habe eine 2x2 Matrix und ganz allgemein formuliert mit charakteristischem Polynom:
[mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
[mm] X_A(\lambda)=det \vmat{ a-\lambda & b \\ c & d-\lambda }
[/mm]
[mm] =(\lambda-a)(\lambda-d)+bc
[/mm]
a und d sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms und somit auch Eigenwerte der Matrix A.
Aber die Frage war ja, wie die A aussehen müssen, damit die Lösung des Systems X'(t)=AX(t) gegen den Uhrzeigersinn um den Nullpunkt laufen?
Und das ich alle 2x2 Matrizen mit rein imaginärem Eigenwert finden soll.
Ich bin mir nicht sicher wie ich das richtig bearbeiten soll.
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:56 So 27.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
a und d sind nicht nst des polynoms, wenn nicht bc=0!
also hast du mit a,d rein imaginär und b oder c = 0 eine der gesuchten matrices. Gibts noch andere?
azu sollte man die NST ausrechnen und =r*i setzen!
erst dann kommt die Lösung der DGL dran.
Gruss leduart
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ich habe keine weiteren Nullstellen gefunden außer
b=0
c=0
und wie soll ich das mit r*i gleichsetzen und daraus dann die allgemeine Lösung berechnen? Ich verstehe das Vorgehen nicht, da ja nicht nach der allg. Lösung gefragt ist sondern gefragt ist wie das A aussehen muss . Und was heißt es, dass die Lösungen gegen den Uhrzeigersinn um den Nullpunkt laufen?
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 So 27.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. willst du A nach den Bed. suchen.
Wenn du es hast erst kannst du nach Lösungen suchen.
die lösung ist ein Vektor, wenn t von 0 an läuft bewegt sich der Vektor gegen den uhrzeigersinn um 0
ein Vektor der das z. Bsp tut ist [mm] (acost,bsint)^T
[/mm]
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 So 27.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Okay, ich habe eine 2x2 Matrix und ganz allgemein
> formuliert mit charakteristischem Polynom:
>
> [mm]A=\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>
> [mm]X_A(\lambda)=det \vmat{ a-\lambda & b \\ c & d-\lambda }[/mm]
>
> [mm]=(\lambda-a)(\lambda-d)+bc[/mm]
>
> a und d sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms
> und somit auch Eigenwerte der Matrix A.
Das ist doch alles Quatsch !.
1. Ich vermute, dass es sich bei A eine um reelle Matrix handelt.
2. Schau noch mal nach wie man die Det. einer Matrix berechnet. Dann siehst Du, dass das char. Polynom so lautet:
[mm](\lambda-a)(\lambda-d)-bc[/mm]
3. Löse jetzt die Gl.
[mm](\lambda-a)(\lambda-d)-bc=0[/mm]
Tipp: pq_Formel.
Gesucht sind nun Bed. an a,b,c,d so dass die Lösungen der Gl von der Form
it
sind, wobei t [mm] \in \IR [/mm] und t [mm] \ne [/mm] 0.
FRED
>
> Aber die Frage war ja, wie die A aussehen müssen, damit
> die Lösung des Systems X'(t)=AX(t) gegen den Uhrzeigersinn
> um den Nullpunkt laufen?
> Und das ich alle 2x2 Matrizen mit rein imaginärem
> Eigenwert finden soll.
>
> Ich bin mir nicht sicher wie ich das richtig bearbeiten
> soll.
>
>
> Mathegirl
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http://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristisches_Polynom
Aber hier in dem Beispiel wird doch das charalteristische Polynom genau so berechnet wie ich das gemacht habe?
Jetzt verstehe ich echt nichts mehr!
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 So 27.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hattest für die Det.
$ [mm] =(\lambda-a)(\lambda-d)+bc [/mm] $
das ist falsch
richtig ist
$ [mm] =(\lambda-a)(\lambda-d)-bc [/mm] $
eigentlich sollte der Ausdruck
$ [mm] =(a-\lambda)(d-\lambda)+bc [/mm] $
sein, das ist allerdings dasselbe, mich wundert nur warum du die ausdrücke in der klammer umdrehst?
Das ist eine quadratische Gleichung, warum kannst du nicht die allgemeine Lösung hinschreiben?
die soll rein imaginär sein, also die Form r*i, r reell haben.
Du musst sagen was daran unverständlich ist und du nur für bc=0 eine Lösung findest.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 So 27.11.2011 | | Autor: | Mathegirl |
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[mm] \lambda^2-(d-a)\lambda+(ad+bc)=0
[/mm]
Ja, so kann man das auch schreiben aber ich kriege hier keine vernünftige Lösung raus mit p-q formel.
Was ich hierbei nicht verstehe?
Ich verstehe die ganze Aufgabenstellung nicht!!!! Das mit Uhrzeigersinn und Nullpunkt!! das hatte ich hier ja schonmal gefragt!
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 So 27.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.das mit dem Uhrzeigersinn hab ich dir versucht zu beantworten, was daran hast du nicht verstanden?
2. dass in einer Lösung buchstaben stehen, sollte dich nicht daran hindern sie hinzuschreiben, dann die lösung =r* i und überlegen, welche Werte dürfen die "Buchstaben" annehmen
damit die lösung weder reell noch r+it sondern nur it ist.
Wenn du einfach schreibst:"ich kriege hier keine vernünftige Lösung raus mit p-q formel. "
dann weiss ich gar nichts. Was ist denn eine vernünftige Lösung?
eine Möglichkeit wär doch gewesen du schreibst deine lösung auf und sagst, Wenn ich a,b,c,d .... wähle wird das ergebnis rein imaginär. gibt es andere möglichkeiten,, wie finde oder suche ich die.
So wie du schreibst, hat man nicht den eindruck, dass du dich mit den Tips mal mindestens ne halbe Stunde rumschlägst und sagst, was du dabei raushast und was nicht.
Ich kann wirklich nicht abschätzen, was du von unseren Bemühungen verstehst, was du mit den Tips tust, usw. Wenn da nur steht"kann ich nicht"
Also erwart ich so was wie dein "Arbeitsprotokoll" um dir zu helfen.
Gruss leduart
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:( okay...
[mm] det(a-\lambdaI)=\pmat{ a-\lambda & b \\ c & d-\lambda }
[/mm]
[mm] =(a-\lambda)(d-\lambda)-cb
[/mm]
[mm] =\lambda^2-(a-d)\lambda-(cd+ab)
[/mm]
[mm] \bruch{a-d}{2}\pm\wurzel{\bruch{(a-d)^2}{4}+(cd+ab)}
[/mm]
[mm] =\bruch{a-d}{2}\pm\wurzel{\bruch{a^2-2ad+d^2+4cd+4ab}{4}}
[/mm]
so und dann hört es auf, dann komme ich zu keinen richtigen ergebnis..Da fängt das Problem schon an, dass ich nicht mal die Nullstellen vernünftig ausrechnen kann...
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> :( okay...
>
> [mm]det(a-\lambdaI)=\pmat{ a-\lambda & b \\ c & d-\lambda }[/mm]
>
> [mm]=(a-\lambda)(d-\lambda)-cb[/mm]
> [mm]=\lambda^2-(a-d)\lambda-(cd+ab)[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]=\lambda^2-(a\red{+}d)\lambda+\red{ad}-cb[/mm]
> [mm]\bruch{a-d}{2}\pm\wurzel{\bruch{(a-d)^2}{4}+(cd+ab)}[/mm]
> [mm]=\bruch{a-d}{2}\pm\wurzel{\bruch{a^2-2ad+d^2+4cd+4ab}{4}}[/mm]
>
> so und dann hört es auf, dann komme ich zu keinen
> richtigen ergebnis..Da fängt das Problem schon an, dass
> ich nicht mal die Nullstellen vernünftig ausrechnen
> kann...
>
>
Um rein imaginäre Lösungen zu erhalten, muß der Realteil 0
und der Audruck unter der Wurzel negativ.
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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aber dann erhalte ich kein vernünftiges Ergebnis!
[mm] \bruch{a+d}{4}\pm\wurzel{\bruch{a^2-2ad+4cb+d^2}{4}}
[/mm]
Was ist hierbei der Realteil?
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 So 27.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> aber dann erhalte ich kein vernünftiges Ergebnis!
>
> [mm]\bruch{a+d}{4}\pm\wurzel{\bruch{a^2-2ad+4cb+d^2}{4}}[/mm]
>
> Was ist hierbei der Realteil?
Es ist mal wieder nicht zu fassen !
Dieser Ausdruck sol von der Form it mit t [mm] \in \IR, [/mm] t [mm] \ne [/mm] 0 sein
Dazu muß [mm] \bruch{a+d}{4}=0 [/mm] sein und [mm] \bruch{a^2-2ad+4cb+d^2}{4}<0 [/mm] sein
FRED
>
>
> Mathegirl
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dann muss a=-d sein und d=-a aber ich versteh das ganze nicht auch nicht das mit dem it.
Halt doof wenn davon in der VL nichts vorkommt!
Mathegirl
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könnt ihr mir hierbei vielleicht noch weiterhelfen?
Ich komme an dieser Stelle nicht weiter.
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 So 27.11.2011 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
Wenn dich jemand feagt, wann ist a+ib rein imaginär (a,b reell) was sagst du?
Wenn dich jemand fragt, wann ist a+\wurzel{b) rein imaginär kannst du das beantworten?
natürlich kommt das ncht in der vorlesungvor, nachdem man weiss, was komplexe zahlen sind, und dazu einige Aufgaben gerechnet wurden.
ob ich sage eine zahl ist rein imaginär, oder sage sie hat die Form i*t oder i*r, t,r reell ist dasselbe
(genau wie ich sagen kann eine gerade Zahl, oder eine Zahl 2*n , n ganz.)
in dem post, indem du deine lösg gepostet hast war
a) die Umformung der quadratischen Gl. schon falsch. in der lösung dann die Buchstaben durcheinander. bevor du also weitermachst kontrolliere nochmal.
Gruss leduart
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Kannst du mir vielleicht zeigen wie es richtig sein muss?
Ich muss die Aufgabe bis 20.30Uhr abgesendet haben und da es das letzte Übungsblatt ist benötige ich sehr dringend die Lösung.
Ich kriege es wirklich nicht hin aber es wäre schön, wenn ich die Lösung der Aufgabe hätte und diese zumindest für mich anchvollziehen kann und dann nochmal nachzufragen weil ich sicher einiges eh nicht verstehe.
MfG
Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 So 27.11.2011 | | Autor: | Mathegirl |
Könnt ihr mir bei dieser Aufgabe vielleicht helfen? Ich muss das bis 20.30 Uhr haben und ich komme einfach nicht weiter!!
:(
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Kannst du mir vielleicht zeigen wie es richtig sein muss?
> Ich muss die Aufgabe bis 20.30Uhr abgesendet haben und da
> es das letzte Übungsblatt ist benötige ich sehr dringend
> die Lösung.
> Ich kriege es wirklich nicht hin aber es wäre schön,
> wenn ich die Lösung der Aufgabe hätte und diese zumindest
> für mich anchvollziehen kann und dann nochmal nachzufragen
> weil ich sicher einiges eh nicht verstehe.
>
In diesem Artikel steht die Lösung.
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Aber ich muss doch von X'(t)=AX(t) das A bestimmen, sodass die Lösung des systems gehen den Uhrzeigersinn um den Nullpunkt läuft..
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 So 27.11.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
erstmal musst du doch ein A haben, dann die lsung von x'=Ax und daraus die, die richtig rumlaufen. man kann die Aufgabe nicht lösen, wenn man kein A hat.
Gruss leduart
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