rektifizierbare Wege < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:25 So 03.06.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | [mm] \gamma:[0,1]\to \IR^2, t\to \begin{cases} \vektor{t \\ tsin\bruch{1}{t}}, & \mbox{} t>0 {}\\ 0, & \mbox{für } t=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
ist nicht rektifizierbar. zeige dies. |
Köönt ihr mir erklären, wie man zeigt, dass eine Kurve bzw ein Weg nicht rektifizierbar ist?
Wenn ein Weg rektifizierbar ist, so muss er eine endliche Länge haben. Ich muss demnach annehmen, dass dieser Weg rektifizierbar ist und zum Gegenschluss kommen, dass er nicht rektifizierbar sein kann.
Allerdings ist mir nicht klar wie man das zeigt.
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 So 03.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\gamma:[0,1]\to \IR^2, t\to \begin{cases} \vektor{t \\ tsin\bruch{1}{t}}, & \mbox{} t>0 {}\\ 0, & \mbox{für } t=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> ist nicht rektifizierbar. zeige dies.
> Köönt ihr mir erklären, wie man zeigt, dass eine Kurve
> bzw ein Weg nicht rektifizierbar ist?
>
> Wenn ein Weg rektifizierbar ist, so muss er eine endliche
> Länge haben. Ich muss demnach annehmen, dass dieser Weg
> rektifizierbar ist und zum Gegenschluss kommen, dass er
> nicht rektifizierbar sein kann.
>
> Allerdings ist mir nicht klar wie man das zeigt.
[mm] \gamma [/mm] ist genau dann rektifizierbar, wenn die Komponentenfunktionen f(t)=t und g(t)=tsin(1/t) auf [0,1] von beschränkter Variation sind.
f hat diese Eigenschaft, g hingegen nicht !
FREDE
>
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 So 03.06.2012 | | Autor: | heinze |
Danke, das habe ich eben noch einmal nachgelesen.
> [mm]\gamma[/mm] ist genau dann rektifizierbar, wenn die
> Komponentenfunktionen f(t)=t und g(t)=tsin(1/t) auf [0,1]
> von beschränkter Variation sind.
>
> f hat diese Eigenschaft, g hingegen nicht !
Ich muss also untersuchen ob f(t) und g(t) beschränkt sind. Ich weiß nicht wie man das zeigt. Ich komme mit der Zerlegung und der Supremumseigenschaft nicht ganz zurecht,
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 So 03.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke, das habe ich eben noch einmal nachgelesen.
> > [mm]\gamma[/mm] ist genau dann rektifizierbar, wenn die
> > Komponentenfunktionen f(t)=t und g(t)=tsin(1/t) auf [0,1]
> > von beschränkter Variation sind.
> >
> > f hat diese Eigenschaft, g hingegen nicht !
>
> Ich muss also untersuchen ob f(t) und g(t) beschränkt
> sind.
f und g sind auf [0,1] beschränkt !!!
Zeige : g ist auf [0,1] nicht von beschränkter Variation.
http://de.wikipedia.org/wiki/Beschränkte_Variation
FRED
> Ich weiß nicht wie man das zeigt. Ich komme mit der
> Zerlegung und der Supremumseigenschaft nicht ganz zurecht,
>
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 So 03.06.2012 | | Autor: | heinze |
Ich habe keine Idee für eine passende Zerlegung bzw. verstehe das Prinzip noch nicht so recht. Kannst du mir etwas auf die Sprünge helfen?
LG
heinze
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> [mm]\gamma:[0,1]\to \IR^2, t\to \begin{cases} \vektor{t \\ tsin\bruch{1}{t}}, & \mbox{} t>0 {}\\ 0, & \mbox{für } t=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> ist nicht rektifizierbar. zeige dies.
> Köönt ihr mir erklären, wie man zeigt, dass eine Kurve
> bzw ein Weg nicht rektifizierbar ist?
>
> Wenn ein Weg rektifizierbar ist, so muss er eine endliche
> Länge haben. Ich muss demnach annehmen, dass dieser Weg
> rektifizierbar ist und zum Gegenschluss kommen, dass er
> nicht rektifizierbar sein kann.
>
> Allerdings ist mir nicht klar wie man das zeigt.
>
>
> LG
> heinze
Hallo Heinze,
man kann auch mit einfachen Worten erklären, worum
es bei dieser Aufgabe geht.
Mach dir zunächst mit einer Zeichnung klar, wie die
Kurve [mm] \gamma [/mm] in der x-y-Ebene in etwa aussieht.
Nun geht es darum, zu zeigen, dass diese Kurve keine
endliche Länge besitzen kann. Um dies zu zeigen,
kann man die Kurve durch eine andere ersetzen
(z.B. einen Streckenzug), die offensichtlich kürzer
ist - von der man aber immer noch zeigen kann, dass
sie keine endliche Länge haben kann.
Als kleine Hilfe würde ich dir empfehlen, einmal
jene Punkte der Kurve zu betrachten, bei welchen
der Sinus in der Formel seine extremalen Werte
(1 oder -1) annimmt.
LG Al-Chw.
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Mir ist es auch nicht klar, wie man zeigt, dass ein Weg rektifizierbar ist.
Könnt ihr mir das nochmal erklären? ich weiß, dass ich die Funktion/ den Weg stückweise untergliedern kann und z.B die Extremwerte betrachten kann. Aber das hilft mir nicht so recht weiter,
MfG
Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 06.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Mir ist es auch nicht klar, wie man zeigt, dass ein Weg
> rektifizierbar ist.
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> Könnt ihr mir das nochmal erklären? ich weiß, dass ich
> die Funktion/ den Weg stückweise untergliedern kann und
> z.B die Extremwerte betrachten kann. Aber das hilft mir
> nicht so recht weiter,
>
> Mathegirl
Hallo,
leider habe ich erst jetzt bemerkt, dass die Frage
doch noch offen geblieben ist.
Mein Tipp an Heinze war:
Als kleine Hilfe würde ich dir empfehlen, einmal
jene Punkte der Kurve zu betrachten, bei welchen
der Sinus in der Formel seine extremalen Werte
(1 oder -1) annimmt.
Es handelt sich um sin(1/t). Dieser Sinuswert
wird gleich +1 , falls [mm] $\frac{1}{t}\ [/mm] =\ [mm] \pi*(2k+1/2)$ [/mm] , und gleich -1 ,
falls [mm] $\frac{1}{t}\ [/mm] =\ [mm] \pi*(2k-1/2)$ (k\in\IZ)
[/mm]
Auf der Kurve [mm] \gamme [/mm] liegen also nach der Reihe
insbesondere die entsprechenden Punkte , für
welche jeweils x=|y| ist. Ich zähle hier deshalb nur
ihre y-Koordinaten auf:
[mm] $\frac{2}{\pi}\ [/mm] \ ,\ \ [mm] -\frac{2}{3*\pi}\ [/mm] \ ,\ \ [mm] \frac{2}{5*\pi}\ [/mm] \ ,\ \ [mm] -\frac{2}{7*\pi}\ [/mm] \ ,\ \ [mm] \frac{2}{9*\pi}\ [/mm] \ ,\ \ [mm] -\frac{2}{11*\pi}\ [/mm] \ ,\ \ .....$
(leider erscheinen die Kommas zwischen den Werten nicht deutlich)
Der durch diese Punkte gebildete nicht abbrechende
Streckenzug ist nun offensichtlich kürzer als die Kurve [mm] \gamma [/mm] .
Andererseits ist der Streckenzug - bezeichnen wir seine
Länge mit S - bestimmt länger als die Summe U der
Differenzen aufeinander folgender y-Koordinaten der
Punktfolge. U muss also eine untere Schranke für die
Länge L der Kurve [mm] \gamma [/mm] sein.
Es gilt nun aber:
$\ U\ =\ [mm] \frac{2}{\pi}*\left[1+\frac{2}{3}+\frac{2}{5}+\frac{2}{7}+\frac{2}{9}+\frac{2}{11}+\,...... \right]$
[/mm]
Es lässt sich leicht zeigen, dass diese Reihe divergiert,
d.H. es ist [mm] U=\infty [/mm] und deshalb auch [mm] S=\infty [/mm] und [mm] L=\infty [/mm] .
Mit diesen Überlegungen haben wir natürlich nichts anderes
gezeigt, als dass eben die Funktion [mm] t\mapsto g(t)=t*sin\left(\frac{1}{t}\right)
[/mm]
über dem betrachteten Intervall, dessen linker Rand bei x=0 liegt,
nicht von beschränkter Variation ist (siehe den Beitrag von Fred).
Das Ergebnis also: [mm] \gamma [/mm] ist nicht rektifizierbar.
Würde man aber den Definitionsbereich von [mm] [0\,...\,1] [/mm] auf [mm] [\varepsilon\,...\,1]
[/mm]
einschränken - mit einem noch so mikroskopischen, aber
positiven [mm] \varepsilon [/mm] , so würde die verbleibende Kurve
sehr wohl rektifizierbar.
Das Beispiel ist deshalb so eindrücklich, weil es zeigt, dass
die landläufige geometrische Anschauung hier an ihre Grenzen
kommt: die Unendlichkeit der Länge von [mm] \gamma [/mm] soll sich in
einem Bereich abspielen, der unter jeder noch so starken
Vergrößerung praktisch "punktförmig" aussieht ...
LG Al-Chwarizmi
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Scheiße jetzt hab ichs grade genau falsch gemacht. Ich wollte es in n Intervalle der Länge 1/n aufteilen, aber du hast recht, dann ist es rektifizierbar, aber warum geht das eigentlich nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Do 07.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Scheiße jetzt hab ichs grade genau falsch gemacht. Ich
> wollte es in n Intervalle der Länge 1/n aufteilen, aber du
> hast recht, dann ist es rektifizierbar, aber warum geht das
> eigentlich nicht?
der viel zu kurz abgeschaetzte Sehnenweg ist dann vielleicht rektifizierbar, nicht die Kurve. Es ist doch bei jeder kurve klar, dass es Sehnen gibt, die so viel abshneiden, dass sei kein vernuenftiges Mass fuer die laenge sind. aber wie du das mit den Intervallen 1n hinkriegen willst versteh ich nicht, da kommen doch auch immer wieder Sehnen vor, die etwa 2/x lang sind ?
Wenn du deine Unterteilung so waehlst dass du nur werte [mm] sin(n*\pi) [/mm] waehlst wird der sehnenweg allerdings sehr kurz>
Gruss leduart
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