rekursiv definierte Folge bes. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Mi 25.11.2009 | | Autor: | kolja2 |
| Aufgabe | Wir betrachten die rekursiv definierte Folge [mm] a:\IN\to\IR, [/mm] die durch
[mm] a_{0}=5 [/mm] und [mm] a_{n+1}=\bruch{a_{n}}{2}+\bruch{2}{a_{n}}
[/mm]
gegeben ist.
(i) Ist die Folge monoton?
(ii) Ist die Dolge beschränkt? Wenn ja, geben Sie eine obere und eine untere Schranke an!
(iii) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge [mm] (a_{n}).
[/mm]
|
Hi Leute,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Hoffentlich kann mir jemand helfen?
Ich weiß, dass rekursiv heißt, dass die Folge durch sich selbst definiert. Also man kann alle Folgeglieder bestimmen.
Meine Annahme ist, dass sie monoton steigend ist, da 5 die Zahl 2,9 ergibt und für 6,7,8.....immer höhere Zahlen herausbekommt. Deshalb müsste 2,9 die untere Schranke sein. Aber wie bestimme ich den Grenzwert?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:32 Do 26.11.2009 | | Autor: | glie |
> Wir betrachten die rekursiv definierte Folge [mm]a:\IN\to\IR,[/mm]
> die durch
>
> [mm]a_{0}=5[/mm] und [mm]a_{n+1}=\bruch{a_{n}}{2}+\bruch{2}{a_{n}}[/mm]
>
> gegeben ist.
>
> (i) Ist die Folge monoton?
> (ii) Ist die Dolge beschränkt? Wenn ja, geben Sie eine
> obere und eine untere Schranke an!
> (iii) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge [mm](a_{n}).[/mm]
>
>
>
> Hi Leute,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter.
> Hoffentlich kann mir jemand helfen?
>
> Ich weiß, dass rekursiv heißt, dass die Folge durch sich
> selbst definiert. Also man kann alle Folgeglieder
> bestimmen.
> Meine Annahme ist, dass sie monoton steigend ist, da 5 die
> Zahl 2,9 ergibt und für 6,7,8.....immer höhere Zahlen
> herausbekommt. Deshalb müsste 2,9 die untere Schranke
> sein. Aber wie bestimme ich den Grenzwert?
Hallo und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
also da hat sich aber schon der Fehlerteufel eingeschlichen bei dir!
Eine rekursiv definierte Folge hat die Eigenschaft, dass du das nächste Folgeglied immer aus dem vorherigen bestimmst.
also [mm] $a_1$ [/mm] erhältst du aus [mm] $a_0$
[/mm]
[mm] $a_2$ [/mm] erhältst du aus [mm] $a_1$
[/mm]
[mm] $a_3$ [/mm] erhälts du aus [mm] $a_2$ [/mm] usw.
Bei deiner Folge:
[mm] $a_0=5$
[/mm]
Dann ist
[mm] $a_1=\bruch{5}{2}+\bruch{2}{5}=2,9$
[/mm]
So weit hats noch gestimmt, aber jetzt gehts mit [mm] $a_1=2,9$ [/mm] weiter!
[mm] $a_2=\bruch{2,9}{2}+\bruch{2}{2,9}=\bruch{1241}{580}\approx [/mm] 2,14$
also steigend ist da schonmal nix!
Wenn du dir jetzt noch ein paar Folgeglieder berechnest, solltest du auf jeden Fall einen schweren Verdacht bekommen, wie die Monotonie der Folge ist und was da der Grenzwert sein könnte.
Da gilt es, deinen Verdacht zu bestätigen und das zu beweisen.
Gruß Glie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Do 25.11.2010 | | Autor: | Sneel |
Hallo,
ich habe die gleichen Zahlen für die [mm] a_{1},a_{2}. [/mm]
Jedoch weiß ich nicht, wie ich die Monotonie beweisen kann.
Kann mir jemand einen Stups in die richtige Richtung geben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Do 25.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe die gleichen Zahlen für die [mm]a_{1},a_{2}.[/mm]
>
> Jedoch weiß ich nicht, wie ich die Monotonie beweisen
> kann.
Mit Induktion
FRED
> Kann mir jemand einen Stups in die richtige Richtung
> geben?
|
|
|
|
