rekursiv definierte folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Di 09.11.2004 | | Autor: | Nadja |
Kann mir bitte jemand bei der Aufgabe helfen.
Betrachten Sie die durch
a1=3 ; a(n+1)=(an/2) + 2/(an)
rekursiv definierte Folge.
Zeigen Sie, dass (an) konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
Wie kann ich dies zeigen. Könnt Ihr mir vielleicht ein Tipp geben.
Nadja
Danke
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Hi Nadja,
benutze dazu das Theorem, das besagt, daß jede monotone und beschränkte Folge konvergiert.
Monotonie zeigst du, indem mit Hilfe vollständiger Induktion zeigst, daß jedes [mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n} [/mm] bzw. [mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] a_{n}.
[/mm]
Beschränktheit beweist du, indem du zeigst, daß deine Folge nie einem bestimmten Wert (eine obere / untere Schranke) erreichst.
Kannst du beides nachweisen, mußt du nur noch den Grenzwert bestimmen, indem du einfach [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] berechnest.
Gruß
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Di 09.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Michael,
> Hi Nadja,
>
> benutze dazu das Theorem, das besagt, daß jede monotone und
> beschränkte Folge konvergiert.
>
> Monotonie zeigst du, indem mit Hilfe vollständiger
> Induktion zeigst, daß jedes [mm]a_{n+1}[/mm] > [mm]a_{n}[/mm] bzw. [mm]a_{n+1}[/mm] <
> [mm]a_{n}.
[/mm]
Das geht auch mit [mm] $\ge$ [/mm] bzw. [mm] $\le$, [/mm] oder du meinst strenge Monotonie, was aber für den Satz egal ist, da man dort nur Monotonie braucht...
> Beschränktheit beweist du, indem du zeigst, daß deine Folge
> nie einem bestimmten Wert (eine obere / untere Schranke)
> erreichst.
>
> Kannst du beides nachweisen, mußt du nur noch den Grenzwert
> bestimmen, indem du einfach [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm]
> berechnest.
Das letzte ist formal nicht korrekt. Aber du meinst was anderes:
Wenn du weißt, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergent ist, so sagst du einfach:
Sei [mm] $a:=\lim_{n \to \infty}{a_n}$ [/mm] (Das geht natürlich erst, nachdem du die Konvergenz nachweisen konntest! )
Und dann kannst du später ausnutzen, dass
[mm] $a=\lim_{n \to \infty}{a_n}=\lim_{n \to \infty}{a_{n+1}}$ [/mm] gilt.
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Di 09.11.2004 | | Autor: | Nadja |
Kann mir jemand sagen wie ich (an) bestimme?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nadja,
> Kann mir jemand sagen wie ich (an) bestimme?
Was willst du denn eigentlich wissen? Meinst du den Grenzwert? (Das steht übrigens auch in dem Link, den Gorky geliefert hat!)
Oder was meinst du?
Konntest du übrigens nachweisen, dass die Folge nach unten beschränkt und monoton fallend ist? Wenn nicht, mußt du das zuerst tun, sonst wird die Argumentation zum Bestimmen des Grenzwertes (vermutlich) zu schwammig! Gab oder gibt es irgendwo Probleme?
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:14 Di 09.11.2004 | | Autor: | Gorky |
Das ist das gleiche, vieleicht hilft das dir ;) http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000002489&read=1&kat=Studium
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nadja,
nachdem du dich nicht mehr gemeldet hast, entschließe ich mich dennoch, hier die Lösung zu posten. Tipps hattest du eigentlich genug bekommen...
> Kann mir bitte jemand bei der Aufgabe helfen.
>
> Betrachten Sie die durch
>
> a1=3 ; a(n+1)=(an/2) + 2/(an)
>
> rekursiv definierte Folge.
> Zeigen Sie, dass (an) konvergiert und bestimmen Sie den
> Grenzwert.
1. ) Wir zeigen:
Die Folge ist nach unten beschränkt:
Beweis dazu:
Wir zeigen:
Es gilt [mm] $a_n \ge [/mm] 2$ [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Induktionsanfang:
n=1:
[mm] $a_1=3 \ge [/mm] 2$ (klar)
$n [mm] \mapsto [/mm] n+1:$
[mm] $a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{2}{a_n}$
[/mm]
[mm] $=\frac{a_n^2+4}{2a_n}$
[/mm]
[m]=\frac{(a_n-2)^2+4a_n}{2a_n}[/m]
[m]=\underbrace{\frac{(a_n-2)^2}{2a_n}}_{\ge 0,\;\,da\,a_n \ge 2 > 0\,nach\,I.V.\,und\,weil\,(a_n-2)^2\ge 0}+2 \ge 2 [/m]
Also gilt für alle $n [mm] \in \IN:$
[/mm]
[mm] $a_n \ge [/mm] 2$, d.h. [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist nach unten beschränkt (und insbesondere wohldefiniert!).
2.) Wir zeigen:
[mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist monoton fallend:
Beweis dazu:
Wegen [mm] $a_n [/mm] > 0 [mm] \forall$ [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] (und damit insbesondere [mm] $a_n\not=0$ $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$) [/mm] können wir das mit dem Quotienten [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] nachweisen:
Es gilt für alle $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[m]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(\frac{a_n}{2}+\frac{2}{a_n}\right)}{a_n}
=\frac{1}{2}+\underbrace{\frac{2}{a_n^2}}_{\le \frac{1}{2},\;\,wegen\,a_n \ge 2\,nach\,1.)} \le \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1[/m],
also:
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}\le [/mm] 1$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $a_{n+1}\le a_n$.
[/mm]
Fazit:
[mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist monoton fallend und nach unten beschränkt, also konvergent.
Sei nun [mm] $a:=\limes_{n \to \infty}{a_n}$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $\limes_{n \to \infty}{a_n}=\limes_{n \to \infty}{a_{n+1}}$ [/mm] und damit folgt nach der rekursiven Definition der (konvergenten) Folge (beachte, dass der Grenzwert insbesonder $>0$ ist (Warum?)):
[mm] $\limes_{n \to \infty}{a_{n+1}}=\frac{\limes_{n \to \infty}{a_n}}{2}+\frac{2}{\limes_{n \to \infty}{a_n}}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $a=\frac{a}{2}+\frac{2}{a}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$2a²=a²+4$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$a²=4$
[mm] $\stackrel{wegen\;a>0}{\gdw}$
[/mm]
$a=2$
Also konvergiert die Folge gegen den Grenzwert [m]a=\limes_{n \to \infty}a_n=2[/m].
Viele Grüße,
Marcel
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