rekursiv definierte folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 So 21.10.2007 | | Autor: | hermes6 |
| Aufgabe | Die Folge (xn) ist rekursiv definiert durch x1=5 ; xn+1=(2*xn-1)^(1/2) (n=1,2,3..)
Zeigen Sie, dass xn fallend und beschränkt ist, und berechnen Sie den Grenzwert. Was passiert, wenn man x1 Element (1/2,1) wählt? |
ich habe nun als erstes die ungleichung xn+1<=xn aufgestellt (um zu beweisen, dass xn fallend ist). damit bekomme ich das ergebnis: (xn-1)²>=0 (das stimmt ja wohl). wie es jetzt weitergeht weis ich leider nicht. wie soll ich eine beschränktheit zeigen und wie soll ich den grenzwert berrechnen? außerdem habe ich keine ahnung, wie ich x1=5 ; x1=1/2 ; x1=1 in meinen berrechnungen einbauen soll.
kann mir jemand von euch helfen?
lg hermes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 So 21.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die Folge (xn) ist rekursiv definiert durch x1=5 ;
> xn+1=(2*xn-1)^(1/2) (n=1,2,3..)
> Zeigen Sie, dass xn fallend und beschränkt ist, und
> berechnen Sie den Grenzwert. Was passiert, wenn man x1
> Element (1/2,1) wählt?
> ich habe nun als erstes die ungleichung xn+1<=xn
> aufgestellt (um zu beweisen, dass xn fallend ist). damit
> bekomme ich das ergebnis: (xn-1)²>=0 (das stimmt ja wohl).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wie es jetzt weitergeht weis ich leider nicht. wie soll ich
> eine beschränktheit zeigen
Da die Folge fallend ist, musst du nur die Beschränktheit von unten zeigen, also dass alle [mm]x_n\ge a[/mm] sind. Tipp: kann es negative Folgenglieder geben?
> und wie soll ich den grenzwert
> berrechnen?
Du hast die rekursive Definition [mm]x_{n+1} = \sqrt{2x_n-1}[/mm]. Was passiert, wenn du auf beiden Seiten [mm]n\rightarrow\infty[/mm] gehen lässt?
> außerdem habe ich keine ahnung, wie ich x1=5 ;
> x1=1/2 ; x1=1 in meinen berrechnungen einbauen soll.
Setz doch einfach mal [mm]x_1=1/2[/mm] oder [mm]x_1=1[/mm] ein und rechne die ersten paar Folgenglieder aus.
Aber du sollst den Fall [mm]x\in(1/2,1)[/mm], also [mm]1/2
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 So 21.10.2007 | | Autor: | hermes6 |
zur beschränktheit: a=(2*a-1)^(1/2) a=1 (ist die untere schranke). probe: (2*xn-1)^(1/2)>=1 xn>=1 (also ist 1 die untere schranke!) aber wie soll ich jetzt den grenzwert bestimmen? der grenzwert bei einer fallenden folge müsste doch die untere schranke sein?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Mo 22.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> zur beschränktheit: a=(2*a-1)^(1/2) a=1 (ist die untere
> schranke).
Du hast nicht irgendne untere Schranke gesucht sondern den Grenzwert, nur in der Grenze n gegen [mm] \infty [/mm] gilt: [mm] x_n=x_{n-1}=a
[/mm]
dann kannst du a so ausrechnen.
aber dass deine Folge diese unter Schranke hat hast du nicht gezeigt. du hast ja x1=5 gar nicht benutzt! wenn a1=0,6 ist was dann?
eine unter Schranke ist alles, was kleiner als alle Folgenglieder ist, die Hauptsache keines ist kleiner.
also ist 0 ne Schranke, die man leicht beweisen kann!
aber auch -1000 wär ne brauchbare untere Schranke.
Denn du brauchst ja nur fallend und nach unten beschränkt.
Dann existiert der Gw. und ist dein a.
Bei deinem monotoniebeweis ist noch ein Fehler!
du fängst mit der Beh. an, machst einige Umformungen, dabei eine nicht äquivalenzumformung!
richtig ist am Ende anzufangen;
[mm] (x_n-1)^2 [/mm] >=0
[mm] x_n^2-2x_n+1>=0
[/mm]
[mm] x_n^2>2x_n-1
[/mm]
wenn [mm] 2x_n>1 [/mm] folgt
[mm] x_n>(2x_n-1)^{1/2}
[/mm]
> probe: (2*xn-1)^(1/2)>=1 xn>=1 (also ist 1
> die untere schranke!) aber wie soll ich jetzt den
> grenzwert bestimmen? der grenzwert bei einer fallenden
> folge müsste doch die untere schranke sein?!
so nein, siehe oben, deine probe versteh ich nicht.
nur weil der GW existiert kannst du sagem [mm] limx_n =limx_{n+1}=a [/mm] und dann dein 1 ausrechen.
Gruss leduart
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